Вычисление объемов тел.

Пусть тело ограничено снизу плосткостью ху, а сверху– поверхностью z = f(x,y),

а с боков — цилиндрической поверхностью.

Такое тело называется цилиндроид.

 

V =

Пример. Вычислить объем, ограниченный поверхностями: x² + y² = 1;

x + y + z =3 и плоскостью ХОY.

Пределы интегрирования: по оси ОХ:

по оси ОY: x₁ = -1; x₂ = 1;

Пример 18. Изменим порядок интегрирования в повторном интеграле

. y

Пределы интегрирования в

исходном интеграле показывают,

что область интегрирования D

задается неравенствами ,

. Область D

изображена на рис. 8 (кривая

является верхней x

полуокружностью окружности

). Легко увидеть, Рис. 8

что множество D не является

элементарным относительно оси x, но его можно разбить на три множества и , каждое из которых элементарно относительно оси x (см. рис.8). Разрешая уравнения и относительно x, получим соответственно и . Таким образом, множество может быть задано неравенствами , ; множество может быть задано неравенствами , ; а множество - неравенствами , . Следовательно,

++=

.

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой