Вычисление площади кривой поверхности.

Если поверхность задана уравнением: f(x, y, z) = 0, то площадь ее поверхности находится по формуле:

 

Если поверхность задана в неявном виде, т.е. уравнением z = j(x, y), то площадь этой поверхности вычисляется по формуле:

Вычисление моментов инерции площадей плоских фигур.

Пусть площадь плоской фигуры (область D) ограничена линией, уравнение которой f(x,y) = 0. Тогда моменты инерции этой фигуры находятся по формулам:

- относительно оси Ох:

- относительно оси Оу:

- относительно начала координат: - этот момент инерции называют еще полярным моментом инерции.

6) Вычисление центров тяжести площадей плоских фигур.

Координаты центра тяжести находятся по формулам:

 

здесь w — поверхностная плотность (dm = wdydx –масса элемента площади)

7) Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла.

Если поверхность тела описывается уравнением f(x, y, z) = 0, то объем тела может быть найден по формуле:

при этом z₁ и z₂ — функции от х и у или постоянные, у₁ и у₂ — функции от х или постоянные, х₁ и х₂ — постоянные.

8) Координаты центра тяжести тела.

 

 

9) Моменты инерции тела относительно осей координат.

 

10) Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей.

 

11) Момент инерции тела относительно начала координат.

 

В приведенных выше формулах п.п. 8 — 11 r — область вычисления интеграла по объему, w — плотность тела в точке (х, у, z), dv — элемент объема

-         в декартовых координатах: dv = dxdydz;

-         в циллиндрических координатах: dv = rdzdjdq;

-         в сферических координатах: dv = r²sinjdrdjdq.

12) Вычисление массы неоднородного тела.

 

Теперь плотность w — величина переменная.