Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0:

Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой- либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Однако, выбор числа а очень важен для практического использования. Дело в том, что при вычислении значения функции в точке, расположенной относительно близко к точке а, значение, полученное по формуле Тейлора, даже при ограничении тремя – четырьмя первыми слагаемыми, совпадает с точным значением функции практически абсолютно. При удалении же рассматриваемой точки от точки а для получения точного значения надо брать все большее количество слагаемых формулы Тейлора, что неудобно.

Т.е. чем больше по модулю значение разности (х — а) тем более точное значение функции отличается от найденного по формуле Тейлора.

Кроме того, можно показать, что остаточный член R_n+1(x) является бесконечно малой функцией при х®а, причем долее высокого порядка, чем (х — а)^m, т.е.

.

Таким образом, ряд Маклорена можно считать частным случаем ряда Тейлора.

ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ

Пусть l - единичный вектор в с координатами .

Производной функции по направлению вектора l в точке называется .

Производная по направлению обозначается .

Градиентом функции f в точке называется вектор, координатами которого являются частные производные функции в точке:

grad f = (, ) =i +j.

Легко показать, что производная по направлению l равна скалярному произведению вектора градиента и вектора l:

=+=,

где g - угол между векторами grad f и l.

Из последней формулы следует, что производная по направлению вектора grad f имеет наибольшее значение среди производных по различным направлениям и равна модулю вектора градиента.

Пример 11. Найдем производную функции в точке М (1, 0) в направлении вектора MN , где N (5, 3).

Вектор MN имеет координаты (4, 3), . Значит, единичный вектор l имеет координаты (4/5, 3/5). Вычислим частные производные в точке М: , . Тогда (1,0)=6 ×4/5 + 0 ×3/5 = 24/5.

Пример 12. Найдем производную функции в точке (2,3) в направлении вектора градиента в этой точке.

Вычислим частные производные:

, .

Производная в направлении вектора градиента в точке равна модулю вектора grad f. Следовательно,

.

Примеры решения задач по математике за второй курс универа

На главную сайта Примеры решения задач по математике, выполнение контрольной курсовой