Пример: Применить полученную формулу для нахождения синуса любого угла с любой степенью точности.
На приведенных ниже графиках представлено сравнение точного значения функции и значения разложения в ряд Тейлора при различном количестве членов разложения.
Рис. 1. Два члена разложения
ис. 2. Четыре члена разложения
Рис. 3. Шесть членов разложения
Рис. 4. Десять членов разложения
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = p/9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
На графике показано изменение значений разложения в ряд Тейлора в зависимости от количества членов разложения. Как видно, если ограничиться тремя членами разложения, то достигается точность до 0,0002.
Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.
Пример
27 Решить уравнение 
Решение:
Для соответствующего однородного
уравнения 
общее решение имеет вид
Запишем его в виде
составляем систему
Решаем эту систему по методу Крамера:
,
где
получим
Интегрируя, найдем
Подставляя найденные 
в общее решение однородного дифференциального уравнения
,
получим
.
2.2.7 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
Рассмотрим уравнение второго порядка
,
где коэффициенты 
– числа, 
.
Согласно теореме о структуре общего решения, оно имеет вид:
,
где 
– общее решение однородного дифференциального уравнения,
– частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Вид
функции устанавливается по виду правой части дифференциального
уравнения 
.
Сначала, как и при методе Лагранжа, находится общее решение однородного дифференциального уравнения
,
его характеристическое уравнение имеет вид
,
где 
– его корни.
Затем отыскивается частное решение
неоднородного уравнения Рассмотрим некоторые частные случаи:
пусть правая часть уравнения имеет вид
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
, если 
,
, если 
,
, если 
,
где А — неопределенный коэффициент, находится методом неопределенных коэффициентов (см. пример).
2) пусть правая часть имеет вид
где 
– многочлен степени 
, тогда частное решение определяется следующим образом:
, если ,
, если ,
, если ,
где А,B,C…D — неопределенные коэффициенты, находятся методом неопределенных коэффициентов (см. пример).
В частности, если правая часть имеет вид
где – многочлен степени , тогда частное решение определяется следующим образом:
, если 
,
, если 
,
, если 
.
3) пусть правая часть имеет вид
или
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
, если 
,
, если 
.
В частности, если правая часть имеет вид
или
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
, если 
,
, если 
.
4) пусть правая часть имеет вид
,
тогда частное решение определяется следующим образом:
,
где
; если
Пример 28 Записать вид частного решения следующих дифференциальных уравнений:
; б) 
;
; г) 
.
Решение:
а) .
Решаем соответствующее однородное уравнение
.
Составляем характеристическое уравнение: 
, находим корни: 
; 
; 
.
Общее решение однородного уравнения 
.
Правая часть исходного уравнения имеет вид:
; 
; 
.
Т.к. число не является корнем характеристического уравнения, а
– многочлен первой степени, то частное решение уравнения
имеет вид:
.
г) .
Решаем соответствующее однородное уравнение
, находим корни 
.
Общее решение однородного уравнения: 
.
Правая часть исходного уравнения имеет вид:
, отсюда 
, 
.
Т.к. число 
не является корнем характеристического уравнения, а
и 
– многочлены нулевой степени, то частное решение уравнения
имеет следующий вид:
.
Выполнить примеры б, в самостоятельно.
