Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим функцию $ f(x)$ , заданную на отрезке $ [a;b]$ , и предположим, что она интегрируема на отрезке $ [a;b]$ . Тогда при любом $ x\in(a;b]$ эта функция будет интегрируема на отрезке $ [a;x]$ и, следовательно, функция

 

$\displaystyle \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$

определена при всех $ x\in(a;x]$ . При $ x=a$ мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что $ \int_a^af(t)\;dt=0$ для любой функции $ f$ и точки $ c$ из её области определения. Итак, функция $ \Phi(x)$ равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции $ f(x)$ , не обязательно непрерывной.

        Теорема 3.11   Функция $ \Phi(x)$ , определённая выше, непрерывна при всех $ x\in[a;b]$ для любой интегрируемой функции $ f$ .

        Доказательство.     Заметим, что если функция $ f(x)$ положительна, то значение $ \Phi(x)$ интерпретируется как площадь под графиком $ y=f(x)$ , лежащая над отрезком $ [a;x]$ . Если дать $ x$ приращение $ h$ , то площадь получит приращение в виде площади полоски, лежащей над отрезком $ [x;x+h]$ (см. рис.).

Рис.3.4.



Эта площадь, вследствие ограниченности интегрируемой функции, мала, если приращение $ h$ мало; это и означает непрерывность функции $ \Phi$ в точке $ x$ .

Проведём теперь более аккуратные рассуждения, не предполагая, что функция принимает положительные значения.

Пусть фиксирована точка $ x\in[a;b)$ и взято такое приращение $ h>0$ , что

$\displaystyle {\Delta}\Phi(x;-h)=\Phi(x)-\Phi(x-h)=-\int_{x-h}^xf(t)\;dt\to0$

при $ h\to0+$ , что означает непрерывность функции $ \Phi$ слева в любой точке $ x\in(a;b]$ .

Тем самым функция $ \Phi$ непрерывна справа в точке $ a$ , непрерывна слева в точке $ b$ и непрерывна (с обеих сторон) в любой точке $ x\in(a;b)$ , что и требовалось доказать.     

        Теорема 3.12   Пусть функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ и функция $ \Phi(x)$ определена всё той же формулой. Тогда $ \Phi(x)$ имеет производную в любой точке интервала $ (a;b)$ , производную справа в точке $ x=a$ и производную слева в точке $ x=b$ , причём эти производные совпадают со значением функции $ f(x)$ в соответствующей точке:

$\displaystyle (\Phi(x))'=f(x)$ при $\displaystyle x\in(a;b);\ \Phi'_+(a)=f(a)$ и $\displaystyle \Phi'_-(b)=f(b).$

        Доказательство.     Снова рассмотрим приращение $ {\Delta}\Phi(x;h)$ при $ h>0$ , $ x\in[a;b)$ , $ x+h\in(a;b]$ . Поскольку функция $ f(x)$ непрерывна, мы можем применить теорему о среднем к интегралу по отрезку $ [x;x+h]$ :

$\displaystyle {\Delta}\Phi(x;h)=\int_x^{x+h}f(t)\;dt=f(x^*)h,$

где $ x^*$  -- некоторая точка отрезка $ [x;x+h]$ . Получаем, деля на $ h$ :

$\displaystyle \frac{{\Delta}\Phi(x;h)}{h}=f(x^*),$

откуда при $ h\to0+$ из непрерывности $ f(x)$ следует, что

$\displaystyle (\Phi(x))_+'=\lim_{h\to0+}f(x^*)=f(x),$

поскольку $ x^*\to x+$ при $ h\to0+$ . Получили, что правая производная совпадает с $ f(x)$ во всех точках $ x\in(a;b]$ .

Аналогично доказывается, что левая производная $ (\Phi(x))'_-$ совпадает с $ f(x)$ во всех точках $ x\in[a;b).$ Во внутренних точках $ x\in(a;b)$ совпадение производных слева и справа со значением $ f(x)$ означает, что функция $ \Phi(x)$ имеет производную $ \Phi'(x)$ , равную $ f(x)$ .     

Точно так же доказывается, что производная интеграла

$\displaystyle \Psi(x)=\int_x^bf(t)\;dt$

от непрерывной функции $ f(x)$ по переменному нижнему пределу равняется $ -f(x)$ :

$\displaystyle \Psi'(x)=-f(x).$

Равенство $ \Phi'(x)=f(x)$ означает, что функция $ \Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$ является первообразной для $ f(x)$ на интервале $ (a;b)$ . Другая первообразная -- это, очевидно, функция $ -\Psi(x)$ .

Итак, мы получили важный результат о наличии первообразной у любой непрерывной функции:

        Теорема 3.13   Пусть $ f(x)$  -- непрерывная на интервале $ (a;b)$ функция. Тогда на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет некоторую первообразную $ G(x)$ , то есть $ {G'(x)=f(x)}$ при всех $ x\in(a;b)$ .

        Доказательство.     Для доказательства достаточно фиксировать произвольную точку $ c\in(a;b)$ и положить

\begin{displaymath}G(x)=\left\{ \begin{array}{l} -\Psi(x)=-\int_x^cf(t)\;dt\te… …i(x)=\int_c^xf(t)\;dt\text{ при }x\in[c;b). \end{array}\right.\end{displaymath}

При $ x=c$ эти определения не противоречат друг другу, поскольку и та, и другая формулы дают $ \int_c^cf(t)\;dt=0$ .

Нетрудно видеть, что при $ x<c$ получается $ G'(x)=-\Psi'(x)=-(-f(x))=f(x)$ , при $ x>c$ получаем $ G'(x)=\Phi'(x)=f(x)$ . При $ x=c$ производная слева даёт значение $ -\Psi_-'(c)=f(c)$ , а производная справа -- значение $ \Phi'_+(c)=f(c)$ , так что производные слева и справа совпадают и $ G'(c)=f(c)$ , что и завершает доказательство.     

Пусть теперь $ F(x)$  -- произвольная первообразная для непрерывной функции $ f(x)$ , заданной на некотором интервале $ (a_1;b_1)$ , содержащем отрезок $ [a;b]$ . Мы уже проверили, что функция $ G(x)$ , такая что $ G(x)=\Phi(x)=\int_a^xf(t)\;dt$ при $ x\geqslant a$ служит тогда первообразной для $ f(x)$ $ x\in(a_1;b_1)$ , а поскольку любые первообразные для одной и той же функции на заданном интервале могут отличаться лишь постоянным слагаемым, получаем, что

$\displaystyle F(x)=G(x)+C,$

где $ C=\mathrm{const}$ , при всех $ x\in(a_1;b_1)$ , в том числе и при $ x=a$ и $ x=b$ . Получаем $ F(b)=G(b)+C$ и $ F(a)=G(a)+C$ , откуда

$\displaystyle F(b)-F(a)=G(b)-G(a)=G(b)=\int_a^bf(t)\;dt,$

поскольку $ G(a)=\int_a^af(t)\;dt=0.$ Итак, меняя обозначение переменной интегрирования на $ x$ , получаем в итоге формулу

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(b)-F(a),$(3.6)

где $ F(x)$  -- произвольная первообразная для функции $ f(x)$ . Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница. Она играет ключевую роль в интегральном исчислении и во всём математическом анализе.

Напомним, что мы получили её в предположении, что функция $ f(x)$ непрерывна. Если функция $ f(x)$ имеет разрыв на отрезке $ [a;b]$ , то разность значений первообразной может не иметь никакого отношения к величине определённого интеграла. Поэтому при применении формулы Ньютона - Лейбница нужно строго следить за законностью этого действия.

Смысл формулы Ньютона - Лейбница (3.6) состоит в том, что для нахождения определённого интеграла $ \int_a^bf(x)\;dx$ нам достаточно теперь найти произвольную первообразную $ F(x)$ для функции $ f(x)$ (напомним, что для этого надо найти неопределённый интеграл) и взять разность значений этой первообразной в концах отрезка, $ F(b)-F(a)$ .

Итак, формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами. Заметим, что смысл этих двух понятий первоначально совершенно различен: неопределённый интеграл -- это набор функций (первообразных), а определённый интеграл -- это число (равное пределу интегральных сумм).

При вычислениях разность $ F(b)-F(a)$ часто называют подстановкой в функцию $ F(x)$ пределов $ a$ и $ b$ и обозначают $ F(x)\Bigr\vert _a^b$ . Таким образом, по определению,

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _a^b=F(b)-F(a),$

а формулу Ньютона - Лейбница можно записать в виде

$\displaystyle \int_a^bf(x)\;dx=F(x)\Bigr\vert _a^b.$

        Пример 3.1   Для нахождения значения определённого интеграла

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx$

найдём первообразную для подынтегральной функции $ f(x)=x^2$ , вычислив неопределённый интеграл:

$\displaystyle \int x^2\;dx=\frac{x^3}{3}+C.$

Поскольку нас интересует любая первообразная, то мы можем взять $ C=0$ (с тем же успехом могли взять и $ C=1$ , и $ C=-255\frac{1}{3}$ , и т.  п., но вид первообразной при $ C=0$ проще, а постоянные сласаемые всё равно взаимно уничтожатся при вычислении подстановки). Итак, берём $ F(x)=\frac{1}{3}x^3$ и вычисляем подстановку, беря в ней пределы равными пределам интегрирования:

$\displaystyle F(x)\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}x^3\Bigr\vert _1^3=\frac{1}{3}\cdot3^3-\frac{1}{3}\cdot1^3= 9-\frac{1}{3}=8\frac{2}{3}.$

Получаем, что

$\displaystyle I=\int_1^3x^2\;dx=8\frac{2}{3}.$

    

        Пример 3.2   Найдём определённый интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx.$

Поскольку

$\displaystyle \int\cos x\;dx=\sin x+C,$

в качестве первообразной $ F(x)$ можно взять $ \sin x$ (положив $ C=0$ ). Поэтому

 

$\displaystyle I=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos x\;dx=\sin x\Bigr\vert _0^{\frac{\pi}{3}}= \sin\frac{\pi}{3}-\sin 0=\frac{\sqrt{3}}{2}-0=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

    

Пример 3.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Построим линии, ограничивающие фигуру.

– парабола, симметричная относительно оси оу, вершина (0;0).

– прямая, если , то ,

если , то .

Найдём точки пересечения линий:

Т.о.

(рис.10).

Подпись:

Рис. 10.

(ед2).

Задания для самостоятельного решения

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Ответы

1.

ед2

2.

21 ед2

3.

ед2

4.

18 ед2

5.

ед2

6.

104 ед2

7.

ед2

8.

ед2

9.

ед2

10.

ед2

11.

ед2

12.

ед2

13.

ед2

14.

4,25 ед2

15.

ед2

7271f726
На главную