Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Курсовая	Матрицы	Производные	Векторная алгебра
Векторный анализ	Аналитическая геометрия	Интегралы	Пределы
Комплексные числа	ТФКП	Контрольная	Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Проверка геометрического смысла интеграла при подсчёте площади части круга

Напомним, что выше мы проверили, что формула

$\displaystyle S=\int_a^bf(x)\;dx$

действительно даёт площадь трапеции, давно нам известную в том случае, когда линия

-- прямая. Мы заметили, что надо еще проверить, что эта формула не противоречит другому издавна известному нам случаю площади: когда линия

-- часть окружности, то эту площадь можно подсчитать, исходя из формулы для площади круга (напомним, она равна $\pi R^2$ для круга радиуса

). Не ограничивая общности, можно считать, что центр круга совпадает с началом координат координатной плоскости

, так что окружность радиуса

имеет уравнение

$\displaystyle x^2+y^2=R^2.$

Верхняя полуокружность задана тогда уравнением $y=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть представляет собой график функции $f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ .

Рис.3.5.

Пусть теперь взят отрезок , целиком умещаюшийся на диаметре , лежащем на оси . Для определённости разберём случай, когда (тогда $0<a<b\leqslant R$ ). Проведём вертикальные отрезки и через концы до пересечения с полуокружностью и получим криволинейную трапецию. Для подсчёта её площади геометрическим способом проведём радиусы и в точки пересечения вертикальных отрезков и , соответственно, с полуокружностью. Длины этих вертикальных отрезков равны $\sqrt{R^2-a^2}$ и $\sqrt{R^2-b^2}$ . Площадь треугольника равна, очевидно, $S_1=\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}$ , а площадь треугольника равна $S_2=\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}$ . Радиус проведён под углом ${\varphi}_1=\arccos\frac{a}{R}$ к оси , а радиус -- под углом ${\varphi}_2=\arccos\frac{b}{R}$ к оси . Используя формулу площади сектора с центральным углом ${\varphi}_1-{\varphi}_2$ , находим площадь сектора круга :

$\displaystyle S_{сект.}=\frac{1}{2}R^2({\varphi}_1-{\varphi}_2)= \frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

Поскольку, как видно из чертежа, площадь

криволинейной трапеции

равна

$\displaystyle S=S_{сект.}+S_{\triangle ONb}-S_{\triangle OMa},$

то получаем формулу

$\displaystyle S=\frac{1}{2}R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}) +\frac{1}{2}b\sqrt{R^2-b^2}-\frac{1}{2}a\sqrt{R^2-a^2}.$

Наша задача -- проверить, что к той же самой формуле приводят и правила интегрирования, если площадь криволинейной трапеции подсчитывать по общей фоpмуле площади области, лежащей под гpафиком функции $y=f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ , то есть вычислять как $S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx.$

Итак, приступаем к преобразованию этого интеграла. Первым делом проинтегрируем по частям:

$\displaystyle S=\int\limits_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx= \left\vert\begin{array}{l} … …ht\vert= x\sqrt{R^2-x^2}\Bigr\vert _a^b-\int_a^b\frac{-x^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\int_a^b\frac{(R^2-x^2)-R^2}{\sqrt{R^2-x^2}}dx=$
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-\underbrace{\int_a^b\sqrt{R^2-x^2}\;dx}_{{}=S}+ R^2\int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=$
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(-\arccos\frac{x}{R})\Bigr\vert _a^b=$
$\displaystyle =b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R}).$

После интегрирования по частям мы преобразовали интеграл в правой части, добавив и отняв

в числителе, после чего поделили скобку

на $\sqrt{R^2-x^2}$ и получили тот же интеграл, с которого начинали, то есть

. Оставшийся интеграл

$\displaystyle \int_a^b\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}$ --

табличный, но вместо привычной табличной формулы

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{R}+C$

мы воспользовались (тоже верной) формулой

$\displaystyle \int\frac{dx}{\sqrt{R^2-x^2}}=-\arccos\frac{x}{R}+C$

и применили формулу Ньютона - Лейбница для вычисления определённого интеграла. Теперь в полученном равенстве

$\displaystyle S= b\sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}-S+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})$

перенесём

из правой части в левую и поделим обе части пополам. Получим:

$\displaystyle S= \frac{1}{2}b\Bigl( \sqrt{R^2-b^2}-a\sqrt{R^2-a^2}+R^2(\arccos\frac{a}{R}-\arccos\frac{b}{R})\Bigr).$

Это та же самая формула для площади , что была получена выше, исходя из формулы площади кругового сектора. Значит, способ подсчёта площади с помощью интеграла не противоречит и этой формуле площади, известной из элементарной геометрии.

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Показательная функция возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций