Несобственные интегралы первого рода

     Определение 4.1   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида $[a;+\infty)$ --> и интегрируема на любом конечном отрезке , где $b\in[a;+\infty)$ --> . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если же предела $\lim\limits_{b\to+\infty}\Phi(b)$ --> не существует (например, если $\Phi(b)\to\infty$ --> при $b\to+\infty$ --> ), то интеграл $\int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ --> называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае ${f(x)\geqslant 0}$ --> , величина несобственного интеграла ${I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ --> означает, по определению, площадь бесконечно длинной области $\mathcal{D}$ --> , лежащей в координатной плоскости между лучом ${[a;+\infty)}$ --> на оси , графиком и вертикальным отрезком (см. рис.).

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям $\mathcal{D}$ --> , площадь которых конечна (хотя сама область $\mathcal{D}$ --> неограничена), а расходящиеся (в случае $f(x)\geqslant 0$ --> ) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когда $\Phi(b)\to\infty$ --> при $b\to+\infty$ --> , часто пишут формально:

\begin{displaymath} \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty, \end{displaymath} -->

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её части $S_b=\int\limits_a^bf(x)\;dx:$ --> правый вертикальный отрезок, проведённый при , отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком (см. рис.).

        Пример 4.1   Вычислим значение интеграла

\begin{displaymath} \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx. \end{displaymath} -->

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

\begin{displaymath} \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx, \end{displaymath} -->

а потом вычислить предел

\begin{displaymath} I=\lim_{b\to+\infty}\Phi(b). \end{displaymath} -->

Итак,

\begin{displaymath} \Phi(b)=\int\limits_0^b\frac{1}{x^2+1}\;dx= \mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigl|_0^b=\mathop{\rm arctg}\nolimits b \end{displaymath} -->

(напомним, что $\mathop{\rm arctg}\nolimits 0=0$ --> ) и

\begin{displaymath} I=\lim_{b\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits b=\frac{\pi}{2}. \end{displaymath} -->

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:

\begin{displaymath} \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\frac{\pi}{2}. \end{displaymath} -->

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком $y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ --> , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.

Поскольку рассматриваемая функция $f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}$ -->  -- чётная, то её график симметричен относительно оси , так что площадь под графиком левее оси  -- точно такая же, как и площадь правее оси , то есть тоже равна $\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}$ --> , а площадь под всем графиком (над всей осью ) естественно считать равной $\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}+\frac{\textstyle{\pi}}{\textstyle{2}}=\pi.$ -->     

        Замечание 4.1   Для краткости записи, предел подстановки

\begin{displaymath} \lim_{b\to+\infty}\Phi(x)\Bigr|_a^b= \lim_{b\to+\infty}\Phi(b)-\Phi(a), \end{displaymath} -->

возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как

\begin{displaymath} \Phi(x)\Bigr|_a^{+\infty}, \end{displaymath} -->

под подстановкой значения в функцию понимая как раз вычисление предела

\begin{displaymath} \lim_{b\to+\infty}\Phi(b). \end{displaymath} -->

В этих обозначениях запись вычисления интеграла предыдущего примера будет выглядеть так:

\begin{displaymath} \int\limits_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+1}\;dx=\mathop{\rm arctg}\nolimits x\Bigr|_0^{+\infty}= \lim_{x\to+\infty}\mathop{\rm arctg}\nolimits x-\mathop{\rm arctg}\nolimits 0=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}. \end{displaymath} -->

Ниже мы часто будем прибегать к такой укороченной записи.     

        Пример 4.2   Рассмотрим теперь несобственный интеграл

\begin{displaymath} \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx. \end{displaymath} -->

Проведём вычисления в том же порядке, как в предыдущем примере:

\begin{displaymath} \Phi(b)=\int_1^b\frac{1}{x}\;dx=\ln|x|\Bigl|_1^b=\ln b; \end{displaymath} -->

далее имеем:

\begin{displaymath} \lim_{b\to+\infty}\ln b=+\infty, \end{displaymath} -->

то есть $\ln b\to+\infty$ --> при $b\to+\infty$ --> . Значит, несобственный интеграл $\int\limits_1^{+\infty}\frac{1}{x}\;dx$ --> расходится и, следовательно, не имеет никакого числового значения.

Рис.4.4.

Геометрически это означает, что площадь под графиком $y=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ --> , лежащая от 1 до , бесконечно велика (несмотря, заметим, на то, что функция $f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x}}$ --> убывает и стремится к 0 при $x\to+\infty$ --> ; однако это стремление к 0 недостаточно быстрое для того, чтобы интеграл сходился). На рисунке (см. выше) мы пометили это обстоятельство условной записью .     

Аналогично случаю интегрирования по промежутку $[a;+\infty)$ --> , уходящему в , рассматривается и случай, когда область интегрирования простирается в . Дадим в этом случае такое определение:

        Определение 4.2   Предположим, что функция задана на бесконечном промежутке вида $(-\infty;b]$ --> и интегрируема на любом конечном отрезке , где $a\in(-\infty;b]$ --> . Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

\begin{displaymath} \Psi(a)=\int_a^bf(x)\;dx. \end{displaymath} -->

Если эта функция имеет предел

\begin{displaymath} I=\lim_{a\to-\infty}\Psi(a), \end{displaymath} -->

то число называется значением несобственного интеграла первого рода

\begin{displaymath} I=\int_{-\infty}^bf(x)\;dx, \end{displaymath} -->

а сам интеграл $\int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ --> называется сходящимся (то есть сходится). Если же предела $\lim\limits_{a\to-\infty}\Psi(a)$ --> не существует, то интеграл $\int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ --> называется расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.     

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интеграла $\int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ --> означает нахождение площади бесконечно длинной области $\mathcal{D}$ --> , лежащей между осью и графиком , левее вертикальной линии . Условие $a\to-\infty$ --> означает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию , временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).

Очевидно, что при изменении направления на оси , то есть при замене , интеграл $\int\limits_a^bf(x)\;dx$ --> переходит в равный ему интеграл $\int\limits_{-b}^{-a}f(-t)\;dt$ --> и, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интеграл $\int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ --> переходит в равный ему интеграл $\int\limits_{-b}^{+\infty}f(-t)\;dt$ --> . Таким образом, все свойства интегралов по промежутку $(-\infty;b]$ --> повторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку $[a;+\infty)$ --> , изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида $\int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ --> .

Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.

        Определение 4.3   Пусть функция определена при всех $x\in\mathbb{R}$ --> и интегрируема на любом отрезке $[a;b]\sbs\mathbb{R}$ --> . Возьмём произвольное значение $c\in\mathbb{R}$ --> (например, ) и будем считать по определению несобственный интеграл

\begin{displaymath} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx \end{displaymath} -->

равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам $(-\infty;c]$ --> и $[c;+\infty)$ --> , то есть

\begin{displaymath} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_{-\infty}^cf(x)\;dx+ \int\limits_c^{+\infty}f(x)\;dx. \end{displaymath} -->

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ --> считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\;dx$ --> считается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).     

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции ${f(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^2+1}}}$ --> ; эта площадь оказалась равной числу .

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точек  и  определение даёт одно и то же, поскольку

(4.1)

\begin{displaymath} \int\limits_{a}^cf(x)\;dx+\int\limits_c^{b}f(x)\;dx= \int\limits_{a}^cf(x)\;dx+ \int\limits_c^{c_1}f(x)\;dx+ \int\limits_{c_1}^bf(x)\;dx= \int\limits_{a}^{c_1}f(x)\;dx+\int\limits_{c_1}^{b}f(x)\;dx. \end{displaymath} -->

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл $\int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ --> сходится, будем записывать в виде такого неравенства:

\begin{displaymath} \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx<\infty, \end{displaymath} -->

\begin{displaymath} \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty \end{displaymath} -->

Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида $(-\infty;b]$ --> и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).

На главную