Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Свойства несобственных интегралов первого рода

Напомним, что мы выяснили выше, что достаточно рассматривать только свойства интегралов вида $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , а свойства интегралов вида $ \int\limits_{-\infty}^bf(x)\;dx$ их будут повторять с очевидными исправлениями.

        Теорема 4.1   Пусть фиксировано число $ a\in\mathbb{R}$ и функция $ f(x)$ интегрируема на любом отрезке $ [a;b]$ , где $ b\geqslant a$ . Тогда если несобственный интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, то при любом $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ . Обратно, если при некотором $ a_1\geqslant a$ сходится интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , то сходится и интеграл $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ .

        Доказательство.     Докажем, что из сходимости $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ следует сходимость $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ при $ a_1\geqslant a$ . Из аддитивности интеграла следует, что при любом $ b\geqslant a$ имеет место равенство

 

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^bf(x)\;dx= \int\limits_a^bf(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx.$(4.2)

Переходя в этом равенстве к пределу при $ b\to+\infty$ , получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx,$(4.3)

причём несобственный интеграл в правой части сходится по условию теоремы, а интеграл $ \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ вовсе не зависит от $ b$ , то есть при вычислении предела при $ b\to+\infty$ служит постоянным слагаемым. Значит, предел, задающий интеграл $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , существует (и равен $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx- \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx$ ), что доказывает сходимость интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ .

Доказано на самом деле даже больше: кроме самомго факта сходимости интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , мы доказали формулу (4.3).

Из той же формулы (4.2) следует и второе утверждение теоремы. Действительно, по условию теоремы интеграл по конечному отрезку $ [a;a_1]$ существует, поскольку функция интегрируема, так что при любом $ b\geqslant a_1$ из формулы (4.2) получаем:

$\displaystyle \int\limits_{a}^{b}f(x)\;dx= \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+ \int\limits_{a_1}^{b}f(x)\;dx.$   

Отсюда переходом к пределу при $ b\to+\infty$ получаем, что

$\displaystyle \int\limits_{a}^{+\infty}f(x)\;dx= \int\limits_a^{a_1}f(x)\;dx+ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx,$

причём существование предела, задающего интеграл в левой части, следует из предположенной сходимости несобственного интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ в правой части.     

        Замечание 4.2   Доказанное свойство говорит о том, что свойство несобственного интеграла быть сходящимся -- это свойство, связанное с поведением функции "на бесконечности": изменение значений функции на любом конечном отрезке $ [a;a_1]$ никак не сказывается на сходимости (или расходимости) интеграла $ \int\limits_{a_1}^{+\infty}f(x)\;dx$ , а следовательно, и на факте сходимости (или, соответственно, расходимости) интеграла $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , хотя такое изменение может, конечно, привести к изменению значения этого интеграла.     

        Теорема 4.2 (теоpема сpавнения)   Пусть даны две функции $ f(x)$ и $ g(x)$ , заданные на $ [a;+\infty)$ , причём при всех $ x\in[a;+\infty)$ выполняется неравенство

$\displaystyle 0\leqslant f(x)\leqslant g(x).$

Тогда из сходимости интеграла от большей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx$ , следует сходимость интеграла от меньшей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , причём

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx\leqslant \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx,$ (4.4)

а из расходимости интеграла от меньшей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx$ , следует расходимость интеграла от большей функции, $ \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx$ :

$\displaystyle \int\limits_a^{+\infty}f(x)\;dx=\infty\quad\Longrightarrow \quad \int\limits_a^{+\infty}g(x)\;dx=\infty.$

        Доказательство.     Поскольку $ f(x)\geqslant 0$ , то функция $ \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx$ не убывает (геометрически значение функции равно площади криволинейной трапеции, лежащей над отрезком $ [a;b]$ , а эта площадь, очевидно, не убывает, если увеличивать $ b$ ). Точно так же не убывает и функция $ \Psi(b)=\int_a^bg(x)\;dx$ , причём по теореме об интегрировании неравенства получаем: из $ f(x)\leqslant g(x)$ следует, что

$\displaystyle \Phi(b)=\int_a^bf(x)\;dx\leqslant \Psi(b)=\int_a^bg(x)\;dx.$

Так как $ \Psi(b)$ не убывает, то сходимость интеграла $ \int_a^{+\infty}g(x)\;dx$ означает, что предел $ \Psi(b)$ при $ b\to+\infty$ существует и

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Psi(b)=J\geqslant \Psi(b)$

при всех $ b$ . Поэтому $ J\geqslant \Phi(b)$ при всех $ b$ , то есть функция $ \Phi(b)$ ограничена сверху постоянной $ J$ . Но мы знаем, что неубывающая ограниченная сверху функция непременно имеет предел при $ b\to+\infty$ , не больший ограничивающей постоянной: существует предел

$\displaystyle \lim_{b\to+\infty}\Phi(b)=I\leqslant J.$

По определению, этот предел равен значению несобственного интеграла:

$\displaystyle I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx,$

так что сходимость интеграла от меньшей функции доказана, а полученное неравенство $ I\leqslant J$ означает, что доказано неравенство (4.4).

Геометрически доказанное утверждение почти очевидно: оно означает, что если площадь под верхним графиком на следующем рисунке (она заштрихована), конечна, то конечна и имеет меньшее значение площадь под нижним графиком (она имеет двойную штриховку).

Рис.4.6.



Доказательство второго утверждения теоремы сразу следует из первого утверждения по принципу "от противного": предположим, что интеграл от меньшей функции расходится. Если бы утверждение было неверно и интеграл от большей функции оказался бы сходящимся, то вместе с ним сходился бы и интеграл от меньшей функции, вопреки предположению. Значит, второе утверждение теоремы верно.

Геометрически оно означает, что если площадь, обозначенная на рисунке двойной штриховкой, бесконечна, то, тем более, бесконечна и вся заштрихованная площадь.     

Доказанная теорема означает, что сходимость несобственного интеграла -- это такое свойство, которое выполняется "тем лучше", чем меньше значения подынтегральной функции (однако, заметим, эти значения должны быть неотрицательными)!

Если условие неотрицательности функций $ f(x)$ и $ G(x)$ не предполагается, то оба утверждения теоремы могут оказаться не верны: так, если взять $ g(x)=0$ и $ f(x)=-1$ при всех $ x$ , то интеграл от большей функции,

$\displaystyle \int_0^{+\infty}g(x)dx=\int_0^{+\infty}0\;dx$

оказывается сходящимся (его значение, очевидно, равно 0), а интеграл от меньшей функции,

$\displaystyle \int_0^{+\infty}f(x)dx =\int_0^{+\infty}(-1)\;dx,$ --

расходится (докажите расходимость, вычислив интеграл $ \int\limits_0^b(-1)\;dx$ и рассмотрев его поведение при $ b\to+\infty$ ).

Тот же пример показывает, что если функции не неотрицательны, то из расходимости интеграла от меньшей функции может не следовать расходимость интеграла от большей.

        Замечание 4.3   Заметим, что требовать выполнения неравенств $ 0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ в условии теоремы 4.2 достаточно не для всех $ x\in[a;+\infty)$ , а начиная лишь с некоторого $ a_1>a$ , и всё равно заключение теоремы будет верно (за исключением выполнения неравенства (4.4)). Действительно, согласно теореме 4.1, поведение функций $ f(x)$ и $ g(x)$ на отрезке $ [a;a_1]$ не сказывается на сходимости интегралов $ \int_a^{+\infty}f(x)dx$ и $ \int_a^{+\infty}g(x)dx$ , а на промежутке $ [a_1;+\infty)$ условия теоремы уже выполнены, и к интегралам $ \int_{a_1}^{+\infty}f(x)dx$ и $ \int_{a_1}^{+\infty}g(x)dx$ её можно применить.     

При помощи теоремы 4.2 мы можем в некоторых случаях исследовать сходимость интеграла, не вычисляя его значения. Для доказательства сходимости интеграла от функции $ f(x)\geqslant 0$ $ \int_a^{+\infty}f(x)dx$ достаточно найти более простую функцию $ g(x)\geqslant f(x)$ , для которой интеграл $ J=\int_a^{+\infty}g(x)dx$ легко вычисляется и сходится. Согласно теореме, тогда исходный интеграл тоже сходится, причём мы получаем оценку его величины: $ \int_a^{+\infty}f(x)dx\leqslant J$ . Если же нам нужно доказать расходимость интеграла $ \int_a^{+\infty}f(x)dx$ , то достаточно найти такую (более просто устроенную) функцию $ g(x)\geqslant 0$ , что $ g(x)\leqslant f(x)$ и интеграл $ \int_a^{+\infty}g(x)dx$ расходится.

Приведём примеры, показывающие этот приём в действии и разъясняющие, как определять, что же для данного интеграла нужно доказывать: сходимость или расходимость10.

        Пример 4.3   Покажем, что интеграл Эйлера - Пуассона

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

сходится. (Заметим сразу, что соответствующий неопределённый интеграл $ \int e^{-\frac{x^2}{2}}dx$  -- неберущийся, то есть не выражается через элементарные функции. Так что надежды вычислить этот интеграл "в лоб", применив формулу Ньютона - Лейбница, нет.)

Для сравнения выберем функцию $ g(x)=e^{-x}$ , неопределённый интеграл от которой легко считается:

$\displaystyle \int e^{-x}dx=-e^{-x}+C.$

Очевидно, что обе функции, $ f(x)=e^{-\frac{x^2}{2}}$ и $ g(x)=e^{-x}$ , положительны. Покажем, что при достаточно больших $ x$ имеет место неравенство $ f(x)\leqslant g(x)$ . Поскольку $ e^z$  -- возрастающая функция переменного $ z$ , неравенство

$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}}\leqslant e^{-x}$

эквивалентно неравенству между показателями степени:

$\displaystyle -\frac{x^2}{2}\leqslant -x,$

которое, как легко видеть, выполняется при всех $ x\geqslant 2$ . Значит, $ 0<f(x)\leqslant g(x)$ при $ x\geqslant 2$ . Однако интеграл от большей функции сходится:

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-x}dx= \lim_{b\to+\infty}(-e^{-x})\Bigr\vert _0^b= \lim_{b\to+\infty}(-e^{-b}+1)=1.$

Согласно замечанию 4.3 и теореме 4.2, отсюда следует сходимость интеграла

$\displaystyle \int_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx.$

    

Для многих примеров при доказательстве сходимости или расходимости интеграла естественно сравнивать подынтегральную функцию с функцией вида $ g(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{x^p}}$ . Определим, при каких значениях показателя $ p$ интеграл

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$

cходится.

Рассмотрим случай $ p>1$ . Тогда

$\displaystyle Z(p)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}= \frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl… … -\frac{1}{p-1}\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}+\frac{1}{p-1}=\frac{1}{p-1},$

поскольку при $ p-1>0$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x^{p-1}}=0.$

Значит, при $ p>1$ интеграл сходится и имеет значение $ Z(p)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{p-1}}.$

Рассмотрим случай $ p=1$ . Тогда

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x}= \ln\vert x\vert\Bigl\vert _1^{+\infty}= \lim_{x\to+\infty}\ln x-\ln1=+\infty,$

поскольку

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$

(то есть предела не существует) и $ \ln1=0$ . Значит, при $ p=1$ интеграл расходится.

Рассмотрим случай $ p<1$ . Тогда

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}= \frac{1}{-p+1}x^{-p+1}\Bigl\vert _1^{+\infty}= \frac{1}{1-p}\lim_{x\to+\infty}x^{1-p}-\frac{1}{1-p}=+\infty,$

поскольку при $ 1-p>0$

$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x^{1-p}=+\infty.$

Значит, при $ p<1$ интеграл расходится.

Итак, интеграл сходится (и функция $ Z(p)$ определена и равна $ \frac{1}{p-1}$ ) только при $ p>1$ ; при $ p\leqslant 1$ интеграл расходится.

        Пример 4.4   Исследуем сходимость несобственного интеграла

$\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{x^2-x-5}{x^8+1}dx.$

При больших значениях $ x$ (которые, вследствие замечания 4.3, только и имеют значение для сходимости интеграла) дробь $ f(x)=\frac{\textstyle{x^2-x-5}}{\textstyle{x^8+1}}dx$ имеет почти такие же значения, как дробь $ g(x)=\frac{1}{x^6}$ . Действительно, поделив числитель и знаменатель дроби $ f(x)$ на $ x^2$ , получим

$\displaystyle f(x)=\frac{1-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}}{x^6+\frac{1}{x^2}}.$

Дроби $ \frac{1}{x},\ \frac{5}{x^2}$ и $ \frac{1}{x^2}$ при больших $ x$ принимают пренебрежимо малые значения, так что ведущую роль будет играть функция $ g(x)$ , получающаяся при отбрасывании этих малых слагаемых в числителе и знаменателе.

Интеграл от функции $ g(x)$ сходится: поскольку $ p=6>1$ , то получаем сходящийся интеграл

$\displaystyle Z(6)=\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^6}.$

Теперь аккуратно проверим выполнение условий теоремы 4.2. При достаточно больших $ x$ (больших большего корня $ x_0=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ уравнения $ x^2-x-5=0$ ) обе функции, $ f(x)$ и $ g(x)$ , принимают положительные значения и

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x-5}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8+1}>\frac{x^2}{x^8}=\frac{1}{x^6}=g(x).$

Поэтому из сходимости интеграла от $ g(x)$ , которую мы уже проверили, следует сходимость интеграла от $ f(x)$ по промежутку $ [x_0;+\infty)$ .

На основании теоремы 4.1 сходится и исходный интеграл.     

        Пример 4.5   Исследуем сходимость несобственного интеграла

$\displaystyle \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$

Наводящие соображения насчёт того, с какой функцией сравнивать подынтегральную функцию

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}},$

таковы: при больших значениях $ x$ ведущую роль в знаменателе играет $ x^3$ , поскольку $ 1\ll x$ при больших $ x$ ; значит, если откинуть 1, получим функцию

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}.$

Поскольку её показатель $ p=\frac{3}{2}$ больше 1, то интеграл

$\displaystyle Z(\frac{3}{2})= \int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}}= \int_1^{+\infty}g(x)\;dx$

сходится. В то же время имеет место неравенство

$\displaystyle 0<f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}<\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}=g(x),$

поскольку, очевидно,

$\displaystyle \sqrt{x^3+1}>\sqrt{x^3}=x^{\frac{3}{2}}.$

Итак, интеграл от большей функции $ g(x)$ сходится, откуда следует сходимость исходного интеграла $ \int_1^{+\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3+1}}.$     

        Пример 4.6   Исследуем сходимость несобственного интеграла

$\displaystyle \int_2^{+\infty}\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}dx.$

При больших $ x$ в числителе ведущую роль играет $ x^2$ , поскольку $ x^4\gg3x$ и $ x^2\gg2$ , а в знаменателе ведущая роль принадлежит $ x^5$ , поскольку $ x^5\gg1$ . Поэтому при больших $ x$ подынтегральная функция

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}$

принимает почти такие же значения, что и функция

$\displaystyle g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Интеграл от $ g(x)$ расходится, поскольку показатель $ p=\frac{1}{2}$ меньше 1. (Для интеграла по промежутку $ [1;+\infty)$ мы это проверяли выше, а расходимость интеграла по промежутку $ [2;+\infty)$ следует из теоремы 4.1.) Значит, для исходного интеграла от функции $ f(x)$ нужно доказывать расходимость. Проверим выполнение соответствующих условий теоремы 4.2: во-первых, функция $ g(x)$ , очевидно, определена на $ [2;+\infty)$ и принимает только положительные значения; во-вторых, имеет место неравенство

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2+3x+2}{\sqrt{x^5-1}}>g(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^5}}=\frac{1}{\sqrt{x}}.$

Действительно, у дроби в левой части числитель больше, а знаменатель меньше, чем у первой дроби в правой части.

Итак, условия теоремы 4.2 проверены. На основании этой теоремы (точнее, её второго утверждения) мы можем заключить, что данный нам интеграл $ \int_2^{+\infty}\frac{\textstyle{x^2+3x+2}}{\textstyle{\sqrt{x^5-1}}}dx$ расходится.     

Докажем ещё одно важное свойство несобственного интеграла первого рода.

        Теорема 4.3   Если интеграл

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$

сходится, то сходится также интеграл

$\displaystyle \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx,$

причём имеет место неравенство

$\displaystyle \Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$

        Доказательство.     Представим $ f(x)$ в виде разности двух неотрицательных функций $ f_+(x)\geqslant 0$ и $ f_-(x)\geqslant 0$ :

$\displaystyle f(x)=f_+(x)-f_-(x).$

Для этого достаточно положить

$\displaystyle f_+(x)=\max\{f(x);0\}=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\text{ если }f(x)<0;\\ f(x),&\text{ если }f(x)\geqslant 0 \end{array}\right.$

и

$\displaystyle f_-(x)=\max\{-f(x);0\}=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\text{ если }f(x)>0;\\ -f(x),&\text{ если }f(x)\leqslant 0. \end{array}\right.$

(Проверьте, что тогда действительно получается $ f(x)=f_+(x)-f_-(x)$ .) Согласно определению функций $ f_+$ и $ f_-$ , получаем также равенство

$\displaystyle \vert f(x)\vert=f_+(x)+f_-(x).$

Поскольку $ f_+(x)\geqslant 0$ и $ f_-(x)\geqslant 0$ , отсюда сразу получаем, что имеют место неравенства

$\displaystyle 0\leqslant f_+(x)\leqslant \vert f(x)\vert$    и $\displaystyle 0\leqslant f_-(x)\leqslant \vert f(x)\vert.$

Поэтому, по теореме 4.2, несобственные интегралы от функций $ f_+(x)$ и $ f_-(x)$ сходятся, поскольку по предположению сходится интеграл от $ \vert f(x)\vert$ . Вычислим теперь несобственный интеграл от $ f(x)$ :

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx= \int_a^{+\infty}(f_+(x)-f_-(x))\;dx= \lim_{b\to+\infty}\int_a^b(f_+(x)-f_-(x))\;dx=$    
$\displaystyle =\lim_{b\to+\infty}\Bigl(\int_a^bf_+(x)\;dx-\int_a^bf_-(x))\;dx\B… … \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf_+(x)\;dx- \lim_{b\to+\infty}\int_a^bf_-(x))\;dx=$    
$\displaystyle =\int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx-\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx.$    

Мы доказали тем самым, что интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится. Поскольку $ {\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx\geqslant 0}$ , то

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx= \int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx-\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx\leqslant$    
$\displaystyle \leqslant \int_a^{+\infty}f_+(x)\;dx+\int_a^{+\infty}f_-(x)\;dx= \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$    

Но поскольку $ \vert-f(x)\vert=\vert f(x)\vert$ , это же неравенство можно написать и для функции $ -f(x)$ , получив тем самым, одновременно

$\displaystyle \int_a^{+\infty}f(x)\;dx\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$    и $\displaystyle -\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx.$

Взятые вместе, эти два неравенства означают, что

$\displaystyle \Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx,$

и доказательство закончено.     

        Определение 4.4   Если несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$ сходится, то несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется абсолютно сходящимся.

Если же несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx$ расходится, а несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ сходится, а несобственный интеграл $ \int_a^{+\infty}f(x)\;dx$ называется условно сходящимся.     

Заметим, что доказанная только что теорема означает в точности, что любой абсолютно сходящийся интеграл сходится.

        Определение 4.5   Неотрицательная функция $ g(x)$ называется мажорантой для функции $ f(x)$ на множестве $ \mathcal{D}$ , лежащем в области определения обеих функций, если

$\displaystyle \vert f(x)\vert\leqslant g(x)$ при всех $\displaystyle x\in\mathcal{D}.$

    

        Теорема 4.4   Пусть для функции $ f(x)$ , интегрируемой на любом отрезке $ [a;b]$ , существует мажоранта $ g(x)$ на $ [a;+\infty)$ , причём несобственный интеграл $ {J=\int_a^{+\infty}g(x)\;dx}$ сходится. Тогда несобственный интеграл $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ тоже сходится, и $ \vert I\vert\leqslant J$ .

        Доказательство.     Поскольку $ 0\leqslant \vert f(x)\vert\leqslant g(x)$ и интеграл $ J$ сходится, то по теореме 4.2 интеграл $ {\int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx}$ также сходится. Это означает, что интеграл $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ сходится абсолютно, откуда следует сходимость самого интеграла $ I$ , причём

$\displaystyle \vert I\vert=\Bigl\vert\int_a^{+\infty}f(x)\;dx\Bigr\vert\leqslant \int_a^{+\infty}\vert f(x)\vert\;dx \leqslant \int_a^{+\infty}g(x)\;dx=J,$

что и завершает доказательство.     

Таким образом, чтобы установить сходимость несобственного интеграла $ {I=\int_a^{+\infty}f(x)\;dx}$ , достаточно найти для $ f(x)$ на $ [a;+\infty)$ такую мажоранту $ g(x)$ , что интеграл $ {J=\int_a^{+\infty}g(x)\;dx}$ сходится.

        Пример 4.7   Рассмотрим несобственный интеграл

$\displaystyle I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx.$

Поскольку $ \vert\sin x\vert\leqslant 1$ при всех $ x$ , функция $ {g(x)=\frac{\textstyle{1}}{\textstyle{1+x^2}}}$ служит мажорантой для $ {f(x)=\frac{\textstyle{\sin x}}{\textstyle{1+x^2}}}$ на $ [0;+\infty)$ . Интеграл от этой мажоранты сходится и равен $ \frac{\pi}{2}$ , как мы проверяли выше, см.  пример 4.1. Значит, сходится и данный нам интеграл $ I$ , причём его значение не превосходит $ \frac{\pi}{2}$ по абсолютной величине:

$\displaystyle \Bigl\vert\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{1+x^2}\;dx\Bigr\vert\leqslant \frac{\pi}{2}.$

    

Другие главы учебника Высшая математика для технических университетов

  • /TD>

Прокрутка

Как вы уже знаете, окно данных отображает звуковые данные в виде диаграммы сигналов, показывающей форму волны. Если вы работаете с монофонической (одноканальной) записью, вы увидите одну диаграмму; если же открыта стереофоническая (двухканальная) запись, диаграмм будет две. Верхняя диаграмма изображает левый канал, нижняя — правый. Расстояние от левого края диаграммы до правого показывает длину файла. В большинстве случаев данные целого файла не помещаются в окне. В таких ситуациях необходимо использовать полосу прокрутки окна данных, расположенную между нижним краем диаграммы и панелью воспроизведения. Эта полоса прокрутки ничем не отличается от аналогичных элементов в стандартных приложениях под Windows. Чтобы перемещаться между фрагментами записи, вы можете либо щелкать по стрелкам прокрутки, либо перетаскивать бегунок на полосе прокрутки. Прокручивая полосу вправо, вы увеличиваете значение линейки времени (Time Ruler) и получаете возможность просмотреть данные до конца файла. Тем не менее прокрутка не меняет значение указателя текущей позиции (о нем вы могли узнать из главы 5). Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Масштабирование

Окно данных также предоставляет возможность масштабирования, благодаря которой вы можете увеличить диаграмму, чтобы выполнить редактирование наиболее аккуратно. Взгляните на нижний край окна данных, и вы увидите две группы кнопок (одна — слева, другая — справа от полосы прокрутки), на которых изображены лупы. С помощью правой группы кнопок (Time Zoom  — масштабирование времени) масштаб диаграммы увеличивается горизонтально, уточняя значение времени. Таким образом, щелкнув на кнопке Time Zoom In (увеличить масштабирование времени), на которой изображена большая лупа, вы увидите более детализированное отображение данных. Обратная функция — у кнопки Time Zoom Out (уменьшить масштабирование времени), на которой изображена маленькая лупа. Используя масштабирование времени, вы заметите, что значения линейки времени изменяются в сторону детализации, так же как и значение индикатора разрешения, расположенного справа от полосы прокрутки. Индикатор разрешения показывает текущую степень масштабирования в виде коэффициента. Степень масштабирования 1:1 дает наибольшую возможную детализацию диаграммы. Значение, дающее наименьшую детализацию, зависит от длины диаграммы. По умолчанию степень масштабирования равна 1:4,096.

Совет

Вы можете изменить значение степени масштабирования по умолчанию. Для этого с помощью меню Options откройте диалоговое окно Preferences, перейдите на вкладку Display и выберите новую степень масштабирования из раскрывающегося списка Normal Zoom Ratio.

Группа кнопок слева от полосы прокрутки (Level Zoom  — масштабирование уровней) функционирует так же, как и кнопки масштабирования времени, но масштаб диаграммы изменяется вертикально. Нажатие на кнопку Level Zoom In (на ней изображена большая лупа) приведет к увеличению масштаба отображения уровня сигнала на диаграмме сигналов. Кнопка Level Zoom Out (та, на которой изображена маленькая лупа) выполняет обратную операцию. Все ваши манипуляции с этими кнопками отражаются на линейке уровней (расположенной в левой части окна данных), масштаб которой изменяется в зависимости от различных уровней сигнала, отображаемого на диаграмме сигналов.

 Совет 

Линейка уровней может отображать уровни сигнала в дБ (dB) или в процентах. Чтобы выбрать один из этих вариантов, просто щелкните правой кнопкой мыши на линейке уровней и выберите подходящий пункт — Label In dB или Label In Percent.

7271f726
На главную