Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Несобственные интегралы с несколькими особенностями

Рассмотрим функцию $ f(x)$ и такой промежуток $ J\sbs\mathbb{R}$ , на котором $ f(x)$ имеет несколько особенностей. Будем считать, что особенности имеются в тех точках промежутка, при приближении к которым функция имеет неинтегрируемые разрывы11, а также в $ -\infty$ и $ +\infty$ , если они являются концами рассматриваемого промежутка $ J$ .

Итак, пусть $ f(x)$ имеет особенности в $ c_1,\ c_2,\ \dots,\ c_n$ , где, возможно, $ c_1=-\infty$ и $ c_n=+\infty$ , а все оставшиеся $ c_i$  -- точки оси $ Ox$ . Точки $ c_i$ разбивают промежуток $ J$ на части -- интервалы $ (c_{i-1};c_i)$ , где внутри интервалов функция уже не имеет особенностей, то есть интегрируема по любому отрезку $ [c';c'']\sbs(c_{i-1};c_i)$ . Если промежуток $ J$  -- это отрезок $ [a;b]$ и в точках $ a$ и $ b$ функция не имеет особенностей, то к интервалам $ (c_{i-1};c_i)$ добавляются ещё полуинтервалы $ [a;c_1)$ и $ (c_n;b]$ с особенностями только в точках $ c_1$ и $ c_n$ . Выберем в каждом из интервалов $ (c_{i-1};c_i)$ по точке $ d_i$ . Тогда на полуинтервалах

Формула Ньютона-Лейбница.

Основные свойства определенного интеграла

Пусть функция интегрируема на отрезке

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и какая-либо её первообразная на то имеет место формула

(2.3)

Равенство (2.3) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если ввести обозначение то формулу Ньютона-Лейбница (2.3) можно переписать так:

Формула Ньютона-Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке надо найти её первообразную функцию (в этом состоит связь определенного интеграла с неопределенным) и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке

1. Если постоянное число и функция интегрируема на то

(2.4)

то есть постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

2. Если функции и интегрируемы на тогда интегрируема на их алгебраическая сумма и

(2.5)


то есть интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. Это свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла изменяется на противоположный:

. (2.6)

4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования (интеграл в точке) равен нулю:

(2.7)

5. Если функция интегрируема на и то

(2.8)

то есть интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла. Кроме того, свойство справедливо при любом расположении точек (считаем, что функция интегрируема на большем из получающихся отрезков).

6. «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке то существует точка такая, что

(2.9)

7. Если функция сохраняет знак на отрезке где то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так, если на отрезке то

8. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке можно интегрировать. Так, если при то

9. Если и соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке то

(2.10)

10. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции

(2.11)

11. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, то есть

(2.12)

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

7271f726
На главную