Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок -- заменить их площадями $ S_i$ прямоугольников, основанием которых служит отрезок $ [x_{i-1};x_i]$ на оси $ Ox$ , а высотой -- отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точке $ x_{i-1}$ , либо в точке $ x_i$ . Тогда в первом случае площадь $ S_i$ равняется $ f(x_{i-1})(x_i-x_{i-1})$ , а во втором $ S_i=f(x_i)(x_i-x_{i-1})$ .

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по $ i$ от $ i=1$ до $ i=n$ , получаем в первом случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

$\displaystyle I\approx I_l=\sum_{i=1}^nf(x_{i-1})(x_i-x_{i-1}),$

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

$\displaystyle I\approx I_r=\sum_{i=1}^nf(x_i)(x_i-x_{i-1}).$

Рис.5.2.



Из приведённого чертежа ясно, что ошибки $ {\varepsilon}_l=I-I_l$ и $ {\varepsilon}_r=I-I_r$ , которые возникают при замене точного значения интеграла $ I$ на его приближённое значение $ I_l$ или $ I_r$ соответственно, обладают такими свойствами:

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l>0$ , поскольку $ i>I_l$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_l<0$ , поскольку $ I<i_l$ ;

если функция $ f(x)$ возрастает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r<0$ , поскольку $ I<i_r$ ;

если функция $ f(x)$ убывает на $ [a;b]$ , то $ {\varepsilon}_r>0$ , поскольку $ i>I_r$ .

Таким образом, в случае монотонной функции $ f$ ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ имеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чисел $ I_l$ и $ I_r$ за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_{rl}=\frac{1}{2}(I_l+I_r)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n(f(x_{i-1})+f(x_i))(x_i-x_{i-1}).$

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для $ I_l$ и $ I_r$ , из которых она возникла, на практике при=меняются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки $ {\varepsilon}_l$ и $ {\varepsilon}_r$ слишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Гораздо большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.

Пример 23. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому сначала выделим целую часть данной функции, деля числитель на знаменатель:

Таким образом Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

Последний интеграл найдем отдельно. Для этого выделим полный квадрат

Введем новую переменную тогда получим интеграл:

Разложим полученный интеграл на сумму двух интегралов:

Здесь мы использовали формулу (1.4).

Следовательно,

Возвращаясь к данному интегралу, окончательно получаем

Теорема. Всякую правильную рациональную дробь знаменатель которой разложен на множители где можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей

(1.7)

где некоторые действительные коэффициенты.

Действительные коэффициенты можно определить из следующих положений. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приводя дроби к общему знаменателю, получим тождественные многочлены в числителе справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов . Этот метод нахождения коэффициентов называется методом неопределенных коэффициентов.

Наряду с этим для определения коэффициентов можно воспользоваться следующим замечанием: так как многочлены, получившиеся в правой и левой частях равенства, после приведения к общему знаменателю должны быть тождественно равны, то их значения равны при любых частных значениях . Придавая частные значения, получим уравнения для определения коэффициентов.


7271f726
На главную