Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Квадратурная формула центральных прямоугольников

Снова рассмотрим отрезки разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ , где $ i=1,\dots,n$ и $ x_0=a$ , $ x_n=b$ , и выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

 

$\displaystyle \ov x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$

(Мы будем эти середины обозначать $ x_{i-\frac{1}{2}}$ .) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

$\displaystyle S_i=f(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

выражает площадь прямоугольника с основанием $ [x_{i-1};x_i]$ и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.):

Рис.5.3.



Получим тогда квадратурную формулу:

$\displaystyle I\approx I_R=\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})(x_i-x_{i-1}),$

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если взять все отрезки разбиения равной длины $ h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то эта квадратурная формула принимает вид

$\displaystyle I\approx I_R=h\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}}).$

Заметим, что в этом случае $ x_{i-\frac{1}{2}}=x_i-\frac{h}{2}=a+ih-\frac{h}{2}.$

Для выяснения характера ошибки $ {\varepsilon}_R=I-I_R$ , возникающей при замене $ I$ на $ I_R$ , заметим, что если функция $ f(x)$ дифференцируема, то прямоугольник площади $ S_i$ равновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику $ y=f(x)$ , проведённая при $ x=x_{i-\frac{1}{2}}$ (см. рис.):

Рис.5.4.



Действительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны, отчего равны площади прямоугольника $ x_{i-1}ABx_i$ и трапеции $ x_{i-1}CDx_i$ .

Отсюда следует, что если функция $ f(x)$ имеет вторую производную, то при $ f''(x)<0$ график является выпуклым кверху и $ i_r>I$ (так как из чертежа видно, что площадь трепеции, равная $ S_i$ , больше площади под графиком функции, а при $ f''(x)>0$ график является выпуклым книзу и $ I_R<i$ . Значит, при $ f''(x)<0$ на $ [a;b]$ получаем $ {\varepsilon}_R<0$ , а при $ f''(x)>0$  -- $ {\varepsilon}_R>0$ .

Пример 17. Найти интеграл

Решение. Так как дан интеграл второй группы, положим тогда

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Последний интеграл находим отдельно. Применим к нему метод подстановки. Обозначим тогда отсюда Подставляем в подынтегральное выражение последнего интеграла, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной

Возвращаясь к данному по условию интегралу, получаем:

Здесь модуль выражения заменен скобками, так как это выражение при любых значениях положительно.

Пример 18. Найти интеграл

Решение. Дан интеграл третьей группы. Пусть тогда (согласно равенству (1.5)).

По формуле (1.6) получим

Как видим, в последнем интеграле в сравнении с данным интегралом одна из функций изменилась на кофункцию, то есть на Как было сказано ранее, к интегралам третьей группы метод интегрирования по частям применяется два раза, поэтому, решая последний интеграл, положим тогда

Используя формулу (1.6), последний интеграл примет вид:

Вернемся к данному интегралу

Последний интеграл совпадает с исходным интегралом. Таким образом мы получили алгебраическое уравнение с неизвестным интегралом

Решим это уравнение относительно исходного интеграла:

тогда

Если при отыскании второго интеграла выбрать и иначе: то получим

Возвращаясь к данному интегралу, получим

Получили бесполезное тождество.

7271f726
На главную