Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Курсовая	Матрицы	Производные	Векторная алгебра
Векторный анализ	Аналитическая геометрия	Интегралы	Пределы
Комплексные числа	ТФКП	Контрольная	Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)

При выводе двух предыдущих квадратурных формул мы приближали график подынтегральной функции

на каждом из отрезков разбиения $[x_{i-1};x_i]$ прямой линией: либо касательной в формуле центральных прямоугольников, либо хордой в формуле трапеций. Очередным по сложности шагом является выбор приближения графика функции

в виде параболы -- графика некоторого квадратного трёхчлена

. Его вид, конечно, будет зависеть от отрезка $[x_{i-1};x_i]$ , на котором мы выбираем приближение.

Выберем, например, такой квадратный трёхчлен , чтобы его значения в точках $x_{i-1},\ x_{i-\frac{1}{2}}$ и совпадали со значениями функции в этих же точках:

$\displaystyle p_i(x_{i-1})=f(x_{i-1});\ <tex2html_comment_mark>87 P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}});\ <tex2html_comment_mark>88 P_i(x_i)=f(x_i).$

(5.3)

Напомним, что через $x_{i-\frac{1}{2}}$ мы обозначали середину отрезка $[x_{i-1};x_i]$ , то есть $x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i).$ Функцию можно записать в виде

$\displaystyle P_i(x)=a+b(x-x_{i-1})+c(x-x_{i-1})(x-x_{i-\frac{1}{2}});$

действительно, раскрыв скобки, получим некоторый квадратный трёхчлен. Подберём числа

так, чтобы выполнялись равенства (5.3). Положим $h_i=x_i-x_{i-1}$ , тогда $x_i-x_{i-\frac{1}{2}}=\frac{h_i}{2}$ и $x_{i-\frac{1}{2}}-x_{i-1}=\frac{h_i}{2}$ . Подставим $x=x_{i-1}$ в выражение для

и получим:

$\displaystyle P_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=a,$

то есть

$\displaystyle a=f(x_{i-1}).$

Подстановка $x=x_{i-\frac{1}{2}}$ даёт

$\displaystyle P_i(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-\frac{1}{2}})=f(x_{i-1})+b\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

$\displaystyle b=\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1})).$

Наконец, подставим

и получим

$\displaystyle P_i(x_i)=f(x_i)=f(x_{i-1})+\frac{2}{h_i}(f(x_{i-\frac{1}{2}}-f(x_{i-1}))\cdot h_i+ c\cdot h_i\cdot\frac{h_i}{2},$

откуда

$\displaystyle c=\frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-f(x_{i-1})-2(f(x_{i-\frac{1}{2}})-f(x_{i-1})))= \frac{2}{h_i^2}(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})).$

Вычислим теперь интеграл от интерполяционной функции , для чего сделаем в нём замену $t=x-x_{i-1}$ :

$\displaystyle \int_{x_{i-1}}^{x_i}P_i(x)\;dx= \int_0^{h_i}(a+bt+ct(t-\frac{h_i}{2}))dt=$
$\displaystyle =\Bigl[at+\frac{bt^2}{2}+c \bigl(\frac{t^3}{3}-\frac{h_i}{2}\cdo… …2}{2}\bigr)\Bigr]\Bigr\vert _0^{h_i}= ah_i+\frac{bh_i^2}{2}+\frac{ch_i^3}{12}=$
$\displaystyle =f(x_{i-1})h_i+ \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{h_i}\bigl(f(x_{i-\frac{… …\cdot\frac{2}{h_i^2} \bigl(f(x_i)-2f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)h_i^3=$
$\displaystyle =\frac{h_i}{6} \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr).$

Осталось просуммировать эти величины по всем отрезкам разбиения. При этом получаем квадратурную формулу, которая называется формулой Симпсона, или формулой парабол:

$\displaystyle I\approx I_S=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i.$

Нетрудно видеть, что это в точности та же "комбинированная" квадратурная формула (5.2), которую мы получили выше из формул центральных прямоугольников и трапеций.

Замечание 5.1 При вычислении очередного слагаемого

$\displaystyle \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i$

требуется вычислить только два (а не три) новых значения функции

, а именно, значения

и $f(x_{i-\frac{1}{2}})$ . Значение $f(x_{i-1})$ использовалось на предыдущем шаге и было тогда уже вычислено.

Если при применении формулы Симпсона взять все отрезки разбиения одинаковой длины $h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ , то формула Симпсона получает вид

$\displaystyle I\approx I_S=\frac{h}{6}\sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i)+4f(x_{i-\frac{1}{2}})+f(x_{i-1})\bigr).$

(5.4)

Раскрыв скобки и объединив одинаковые слагаемые, можно легко привести эту формулу к виду

$\displaystyle I\approx I_S=\frac{h}{6} \Bigl(f(x_0)+4\sum_{i=1}^nf(x_{i-\frac{1}{2}})+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\Bigr).$

Действительно, слагаемые с целыми номерами (кроме

) входят по одному разу в каждое их двух соседних слагаемых в сумме (5.4), так что для них получается сумма с коэффициентом 2.

Оценка ошибки формулы Симпсона, то есть величины ${\varepsilon}_S=I-I_S$ , такова. Предположим, что функция имеет на отрезке непрерывную четвёртую производную $f^{(4)}(x)$ , причём

$\displaystyle \vert f^{(4)}(x)\vert\leqslant M_4$

при всех $x\in[a;b]$ . Тогда при выборе постоянного шага $h_i=h=\frac{\textstyle{b-a}}{\textstyle{n}}$ имеет место неравенство

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_S\vert\leqslant \frac{M_4(b-a)}{2880}h^4=\frac{M_4(b-a)^5}{2880}\cdot\frac{1}{n^4}.$

Таким образом, формула Симпсона -- это квадратурная формула четвёртого порядка точности. Это означает, что при уменьшении шага

вдвое ошибка ${\varepsilon}_S$ уменьшится примерно в

раз, а при уменьшении шага в 10 раз ошибка уменьшится примерно в

раз.

Доказательство приведённой оценки для формулы Симпсона можно найти, например, в книге
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987.

Вычисление объема тела вращения плоской фигуры.

Если тело образуется при вращении вокруг оси криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой Объем тела вращения определяется формулой

(2.22)

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции, прилежащей к оси то объем тела вращения определяется формулой

(2.23)

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями (одной волной), вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда Найдем

Тогда искомый обьем

Пример 62. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси

Решение. Построим данную плоскую фигуру. Графиком функции или является парабола, симметричная оси ветви направлены вверх, вершина лежит в начале координат. Графиком функции или является прямая