Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Квадратурные формулы более высокого порядка точности

Дальнейшее повышение порядка точности формул, подобных квадратурным формулам центральных прямоугольников, трапеций, парабол, можно получить, применяя на отрезках разбиения интерполяцию функции $ f(x)$ многочленами более высокой степени (ниже мы использовали линейные функции, то есть многочлены степени 1, и квадратные трёхчлены -- многочлены степени 2).

Например, если использовать кубическое интерполирование, то есть приближать функцию $ f(x)$ многочленами степени 3, то получится формула, называемая кквадратурной формулой $ \frac{3}{8}$ (три восьмых)":

 

$\displaystyle I\approx I_{\frac{3}{8}}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i) +3f(x_{i-\frac{1}{3}}) +3f(x_{i-\frac{2}{3}}) +f(x_{i-1})\bigr)\cdot h_i,$

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ , $ x_{i-\frac{1}{3}}=x_i-\frac{1}{3}h_i$ и $ x_{i-\frac{2}{3}}=x_i-\frac{2}{3}h_i$ , то есть точки $ x_{i-\frac{2}{3}}$ и $ x_{i-\frac{1}{3}}$ делят отрезок разбиения $ [x_{i-1};x_i]$ на три равных части. Число $ \frac{3}{8}$ в названии формулы связано с тем, что если положить $ h=h_i=\frac{b-a}{n}$ постоянным и ввести обозначение $ {\delta}=\frac{h}{3}$ , то формула получает вид

$\displaystyle I\approx I_{\frac{3}{8}}=\frac{3}{8}{\delta}\sum_{i=1}^n \bigl(f(x_i) +3f(x_{i-\frac{1}{3}}) +3f(x_{i-\frac{2}{3}}) +f(x_{i-1})\bigr).$

Если же использовать для интерполяции многочлены шестой степени $ P_i(x)$ и заменять интеграл ог $ f(x)$ на каждом из отрезков $ [x_{i-1};x_i]$ на интеграл от $ P_i(x)$ , то получится квадратурная формула, называемая формулой Уэддля:

$\displaystyle I\approx I_W=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^n \bigl(f_{i0}+5f_{i1}+f_{i2}+6f_{i3}+f_{i4}+5f_{i5}+f_{i6}\bigr)\cdot h_i,$

где $ h_i=x_i-x_{i-1}$ и $ f_{ij}=f(x_{i-1}+j\cdot\frac{h_i}{6}.$ Таким образом, при применении формулы Уэддля на каждом очередном отрезке нужно вычислить 6 новых значений функции $ f_{i1},\dots,f_{i6}$ , а значение $ f_{i0}=f_{(i-1)6}$ вычислять заново не нужно, оно было уже вычислено на предыдущем шаге.

Для ошибки формулы Уэддля $ {\varepsilon}_W=I-I_W$ с постоянным шагом $ h_i=h=\frac{b-a}{n}$ имеется такая оценка:

$\displaystyle \vert{\varepsilon}_W\vert\leqslant \frac{b-a}{39\,191\,040}h^6\Bigl(M_6+\frac{h^2}{40}M_8\Bigr),$

где $ \vert f^{(6)}(x)\vert\leqslant M_6$ и $ \vert f^{(8)}(x)\vert\leqslant M_8$ при всех $ x\in[a;b]$ . При этом предполагается, что восьмая производная $ f^{(8)}(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$ .

Таким образом, формула Уэддля является квадраткрной формулой шестого порядка точности. На практике формулы более высокого порядка точности, чем формула Уэддля, не используются. Формула "$ \frac{3}{8}$ " используется редко. Если не устраивает формула Симпсона, то сразу переходят к формуле Уэддля.

        Замечание 5.2   Мы не затрагиваем здесь вопросов, связанных с квадратурными формулами Гаусса (в которых, для повышения точности, точки $ x_i\in[a;b]$ , в которых вычисляются значения функции $ f(x)$ , выбираются специальным образом), а также другие вопросы приближённого нахождения интегралов, например, нахождение несобственных интегралов, осциллирующих интегралов и других интегралов специальных типов. Интересующихся этими вопросами мы отсылаем к книгам
Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. -- М.: Наука, 1987,
Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высш. шк., 1994,
Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. -- М.: Наука, Физматлит, 1994.   

Пример 24. Найти интеграл

Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью (степень многочлена числителя, равная единице, меньше степени многочлена знаменателя, равной двум), причем знаменатель дроби разложен на не повторяющиеся множители, имеющие действительные корни.

Разложим данную дробь на простейшие дроби:

Приведем дроби к общему знаменателю, а затем приравняем многочлены в числителях справа и слева:

Приравнивая коэффициенты при и (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов:

Тогда данная дробь примет вид:

Подставляя правую часть последнего равенства в данный интеграл, получим:

Пример 25. Найти интеграл

Решение. Степень многочлена числителя равна двум, а знаменателя — четырем. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби:

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:

Для нахождения неопределенных коэффициентов воспользуемся методом частных значений аргумента придавая ему четыре различных значения (так как требуется найти четыре коэффициента):

при получим

при

при

при

Решим систему уравнений:

Получили

Подынтегральная функция примет вид:

Проинтегрируем правую часть полученного равенства, используя свойства и таблицу неопределенных интегралов:

  

7271f726
На главную