Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений

Пусть в пространстве $ \mathbb{R}^3$ с декартовой системой координат $ Oxyz$ лежит область $ {\Omega}$ , проектирующаяся на ось $ Ox$ в отрезок $ [a;b]$ . Предположим, что для каждого $ x\in[a;b]$ нам известна площадь $ S(x)$ сечения тела $ {\Omega}$ плоскостью, проходящей через точку $ x$ оси абсцисс перпендикулярно этой оси. Площадь $ S(x)$ будем называть площадью поперечного сечения тела $ {\Omega}$ .

Для нахождения объёма тела $ {\Omega}$ возьмём размеченное разбиение $ \Xi$ отрезка $ [a;b]$ , которое образуют точки деления $ x_0=a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b$ и отмеченные точки $ \ov x_i\in[x_{i-1};x_i]$ , $ i=1,\dots,n$ . Плоскости $ x=x_i$ разбивают тело $ {\Omega}$ на слои $ {\Omega}_i$ , объёмы которых мы вычислим приближённо, в соответствии с этим разбиением заменив объём слоя $ {\Omega}_i$ на объём цилиндра, высота которого $ h_i=x_i-x_{i-1}$ та же, что у слоя $ {\Omega}$ , а основание совпадает с сечением тела плоскостью $ x=\ov x_i$ , проведённой где-то посередине между основаниями слоя $ {\Omega}_i$ (см. рис.). Образующие этого цилиндра -- отрезки прямых, проходящих параллельно оси $ Ox$ через точки границы сечения.

Рис.6.9.


Объём цилиндра равен, очевидно, $ \wt V_i=S(\ov x_i)h_i$ , а подсчитанный приближённо с помощью данного разбиения объём всего тела $ {\Omega}$  --

$\displaystyle V_{{\Omega}}\approx\wt V_{\Xi}= \sum_{i=1}^n\wt V_i= \sum_{i=1}^nS(\ov x_i)h_i.$

Последняя сумма -- это интегральная сумма, построенная для функции $ S(x)$ по размеченному разбиению $ \Xi$ . При неограниченном измельчении разбиения (то есть при $ \mathop{\rm diam}\nolimits (\Xi)\to0$ ) эта сумма стремится к значению определённого интеграла от $ S(x)$ по $ [a;b]$ . С другой стороны, задаваемый этой суммой объём будет стремиться к объёму тела $ V_{{\Omega}}$ (этот предельный объём мы можем по определению считать равным объёму тела $ {\Omega}$ ). Итак, получаем формулу

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_a^bS(x)\;dx.$(6.5)

        Пример 6.4   Найдём объём ограниченного тела, заключённого между поверхностью цилиндра радиуса $ R$ : $ x^2+y^2=R^2$ , горизонтальной плоскостью $ z=0$ и наклонной плоскостью $ z=2y$ и лежащего выше горизонтальной плоскости $ z=0$ (см. рис.).

Рис.6.10.



Очевидно, что рассматриваемое тело $ {\Omega}$ проектируется на ось $ Ox$ в отрезок $ [-R;R]$ , а при $ x\in(-R;R)$ поперечное сечение тела представляет собою прямоугольный треугольник с катетами $ y$ и $ z=2y$ , где $ y$ можно выразить через $ x$ из уравнения цилиндра:

$\displaystyle y=\sqrt{R^2-x^2}.$

Поэтому площадь $ S(x)$ поперечного сечения такова:

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2}y\cdot2y=y^2=R^2-x^2.$

Применяя формулу (6.5), находим объём тела $ {\Omega}$ :

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\int_{-R}^R(R^2-x^2)\;dx=\bigl(R^2x-\frac{x^3}{3}\bi… … \bigl(R^3-\frac{R^3}{3}\bigr)- \bigl(-R^3+\frac{R^3}{3}\bigr)=\frac{4R^3}{3}.$

    

Пусть тело $ {\Omega}$ ограничено поверхностью, полученной вращением в пространстве $ Oxyz$ линии $ y=f(x)$ , лежащей в плоскости $ xOy$ и рассматриваемой при $ x\in[a;b]$ , вокруг оси $ Ox$ , а также (с боков) плоскостями $ x=a$ и $ x=b$ (см. рис.).

Рис.6.11.



Поскольку поперечными сечениями такого тела вращения служат круги12 радиуса $ {\vert y\vert=\vert f(x)\vert}$ , площадь поперечного сечения будет в этом случае выражаться формулой

$\displaystyle S(x)=\pi y^2=\pi(f(x))^2,$

а объём тела вращения, как следствие формулы (6.5), равен

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^b(f(x))^2\;dx,$

или, более кратко,

$\displaystyle V_{{\Omega}}=\pi\int_a^by^2\;dx.$(6.6)

        Пример 6.5   Пусть в плоскости $ xOy$ рассматривается линия $ y=\cos x$ на отрезке $ \bigl[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\bigr]$ .

Рис.6.12.



Эта линия вращается в пространстве вокруг оси $ Ox$ , и полученная поверхность вращения ограничивает некоторое тело вращения (см. рис.). Найдём объём $ V$ этого тела вращения.

Рис.6.13.



Согласно формуле (6.6), получаем:

 

$\displaystyle V=\pi\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2x\;dx= \frac{\pi… …}{2}\sin2x\bigr)\Bigr\vert _{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{\pi^2}{2}.$

    

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом вокруг оси

Решение. Большая полуось эллипса малая полуось

Построим эллипс. Так как то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения.

Вычислим обьем этого тела по формуле (2.23):

Ординаты точек и являются пределами интегрирования и соответственно. Для эллипса точки и имеют координаты и то есть и поэтому Из уравнения эллипса выразим

Получим искомый обьем:

7271f726
На главную