Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Связные множества

Введём ещё несколько понятий, относящихся к множествам точек в $ \mathbb{R}^n$ .

Пусть $ I$  -- отрезок $ [0;1]$ на вещественной оси $ \mathbb{R}_t$ , переменная на которой обозначается буквой $ t$ . Рассмотрим $ n$ функций $ {\gamma}_1(t),{\gamma}_2(t),\dots,{\gamma}_n(t)$ , заданных на отрезке $ I$ . Каждому $ t\in I$ соответствует тогда точка $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t);\dots;{\gamma}_n(t))$ пространства $ \mathbb{R}^n$ . Получаем отображение

 

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n,$

сопоставляющее каждому $ t\in I$ соответствующую точку $ {\gamma}(t)$ . Это отображение $ {\gamma}$ называется вектор-функцией, заданной на отрезке $ I\sbs\mathbb{R}_t$ .

Пусть теперь все функции $ {\gamma}_i$ , задающие вектор-функцию $ {\gamma}$ , непрерывны на отрезке $ I$ . Тогда и вектор-функцию $ {\gamma}$ будем называть непрерывной. Для такой непрерывной вектор-функции, при изменении $ t$ на отрезке $ I$ точка $ {\gamma}(t)$ непрерывно перемещается из положения $ x^0={\gamma}(0)$ в положение $ x^1={\gamma}(1)$ .

        Определение 7.5   В описанной выше ситуации будем называть отображение

$\displaystyle {\gamma}:I\to\mathbb{R}^n_x,$

заданное формулой $ x={\gamma}(t)$ , непрерывным путём, или просто путём, соединяющим точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ пространства $ \mathbb{R}^n$ .

Рис.7.4.



Множество всех точек $ G=\{{\gamma}(t): t\in I\}$ будем называть непрерывной линией в $ \mathbb{R}^n$ , соединяющей точки $ x^0$ и $ x^1$ , а ту вектор-функцию $ {\gamma}$ , которая порождает линию $ G$  -- параметризацией этой линии.     

Заметим, что одна и та же линия $ G\sbs\mathbb{R}^n$ может иметь разные параметризации. Например, на плоскости $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ отрезок $ [0;1]$ оси $ Ox_1$ можно параметризовать, положив либо $ {\gamma}_1(t)=t,\ {\gamma}_2(t)=0$ , либо $ {\gamma}_1(t)=t^2,\ {\gamma}_2(t)=0$ (разумеется, формулы $ {\gamma}_1(t)=t^{{\alpha}},\ {\gamma}_2(t)=0$ , при любом $ {\alpha}>0$ задают ещё бесконечное множество различных параметризации той же линии $ G$ ).

        Определение 7.6   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется связным, если любые две точки $ x^0$ и $ x^1$ этого множества $ {\Omega}$ можно соединить непрерывной линией $ G$ , целиком лежащей в множестве $ {\Omega}$ , то есть если существует путь $ {\gamma}(t)$ , начинающийся в $ x^0$ и заканчивающийся в $ x^1$ , такой что $ {\gamma}(t)\in{\Omega}$ при всех $ t\in[0;1]$ .     

На следующем рисунке приведены примеры связных областей на плоскости.

Рис.7.5.



Связными областями являются:
1) всё пространство $ \mathbb{R}^n$ ;
2) замкнутые и открытые шары;
3) гиперплоскости;
4) замкнутые и открытые полупространства;
5) замкнутые и открытые параллелепипеды;
6) положительный и неотрицательный октанты.

        Упражнение 7.5   Докажите утверждение о связности перечисленных множеств. Заметим, что для всех этих множеств в качестве линии, соединяющей точки $ x^0$ и $ x^1$ , можно взять отрезок прямой. Напомним, что прямая в $ n$ -мерном пространстве параметризуется линейными функциями от переменного $ t$ :

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1=a_1+b_1t;\\ x_2=a_2+b_2t;\\ \dots\\ x_n=a_n+b_nt. \end{array}\right.$

Подумайте, как надо выбрать постоянные $ a_i$ и $ b_i$ , чтобы эти формулы задавали путь из $ x^0$ в $ x^1$ .     

        Определение 7.7   Множество $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ называется выпуклым, если прямолинейный отрезок $ G$ , соединяющий любые две точки $ x^0$ и $ x^1$ множества $ {\Omega}$ , целиком лежит в множестве $ {\Omega}$ .     

Получаем, что, во-первых, все перечисленные выше в пунктах 1) -- 6) множества являются выпуклыми и что, во-вторых, любое выпуклое множество связно.

Более подробно выпуклые множества мы будем изучать ниже.

Приведём пример несвязной области.

        Пример 7.4   Пусть $ {\Omega}$  -- область в $ \mathbb{R}^2$ с координатами $ (x_1;x_2)$ , заданная условием $ x_1\ne0$ . Эта область состоит из двух открытых полупространств $ \{x_1<0\}$ и $ \{x_1>0\}$ (и, тем самым, открыта). Покажем, что область $ {\Omega}$ не связна.

Если взять две точки $ x^0$ и $ x^1$ , такие что $ x^0_1<0$ и $ x^1_1>0$ , то обе они принадлежат $ {\Omega}$ , поскольку их первая координата отлична от 0. Предположим, что некоторый непрерывный путь $ {\gamma}(t)$ соединяет точку $ x^0$ с точкой $ x^1$ и $ {\gamma}(t)=({\gamma}_1(t);{\gamma}_2(t))$ .

Рис.7.6.



Поскольку $ {\gamma}_1(0)=x^0_1<0$ , $ {\gamma}_1(1)=x^1_1>0$ и функция $ {\gamma}_1(t)$ по предположению непрерывна при $ t\in[0;1]$ , то по теореме о корне найдётся такое значение $ t=t^*$ , что $ {\gamma}_1(t^*)=0$ . Но тогда точка $ {\gamma}(t^*)=(0;{\gamma}_2(t^*))$ не принадлежит области $ {\Omega}$ , поскольку её первая координата равна 0. Значит, любой непрерывный путь $ {\gamma}$ , соединяющий $ x^0$ с $ x^1$ , не может целиком лежать в $ {\Omega}$ . Это означает, что область $ {\Omega}$ не является связной.     

Если фиксировать некоторую точку $ x^0$ множества $ {\Omega}$ и рассмотреть все те точки $ x^1\in{\Omega}$ , в которые ведут непрерывные и целиком лежащие в $ {\Omega}$ пути, выходящие из $ x^0$ , то множество таких концевых точек $ x^1$ образует компоненту связности множества $ {\Omega}$ , содержащую точку $ x^0$ . Если эта компонента связности не охватывает всё множество $ {\Omega}$ , то можно рассмотреть какую-то точку $ x^{00}\in{\Omega}$ , не лежащую в этой компоненте, и, начиная с этой точки $ x^{00}$ , построить другую компоненту связности множества $ {\Omega}$ , не пересекающуюся с первой компонентой связности. Продолжая, если нужно, этот процесс далее, мы получаем разбиение множества $ {\Omega}$ на непересекающиеся компоненты связности.

Любое связное множество состоит из одной компоненты связности, а любое несвязное множество -- по меньшей мере из двух компонент связности.

        Пример 7.5   Несвязное множество $ {\Omega}$ , рассмотренное в примере 7.4, состоит из двух компонент связности -- открытых полупространств $ {{\Omega}_-=\{x_1<0\}}$ и $ {{\Omega}_+=\{x_1>0\}}$ .     

Пример 2.3. Вычислить

.

Задания для самостоятельной работы

Задания

Ответы

1.

256

2.

3.

4.

5.

6.

Для вычисления определённого интеграла методом подстановки (замены переменной) полезно находить пределы интегрирования для новой переменной. Приведём примеры.

Пример 2.4. Вычислить

Пусть , тогда

Вычислим пределы интегрирования для новой переменной t.

Если , то верхний предел интегрирования для новой переменной

Если , то нижний предел

Решение записывают в виде:

7271f726
На главную