Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

График функции нескольких переменных

Пусть областью определения функции нескольких переменных $ f(x)$ служит некоторая область $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ .

Графиком функции $ f$ называется подмножество $ (n+1)$ -мерного пространства $ \mathbb{R}^{n+1}$ с координатами $ (x_1;x_2;\dots;x_n;y)$ , заданное уравнением $ y=f(x)$ , то есть множество

 

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x_1;x_2;\dots;x_n;f(x_1;x_2;\dots;x_n))\}$

(последняя координата $ y$ точки $ (x;y)$ , принадлежащей графику $ {\Gamma}_f$ , равна значению функции в точке $ x$ ).

Рис.7.7.



Изобразить график функции $ n$ переменных на чертеже можно лишь в случае $ n+1\leqslant 3$ (мы не можем изобразить на бумаге пространство большей размерности) и, следовательно, лишь при $ n=1$ (что соответствует функциям одной вешественной переменной) или при $ n=2$ , то есть для функции двух переменных. В последнем случае, при $ n=2$ , график $ {\Gamma}_f$ обычно изображают в виде некоторой поверхности, расположенной над (или под) областью определения $ {\Omega}=\mathcal{D}(f)$ , а область определения располагают в горизонтальной плоскости чертежа -- плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Вертикальная координатная ось тогда соответствует оси значений функции, $ Oy$ . Точки $ M$ , лежащие на графике, имеют тогда три координаты: $ M(x_1;x_2;y)$ , причём $ y=f(x_1;x_2)$ .

Основные методы интегрирования

Согласно формуле Ньютона-Лейбница при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную или неопределенный интеграл а затем вычислить разность значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Метод непосредственного интегрирования в определенном интеграле основывается на тождественных преобразованиях подынтегральной функции.

Пример 40. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, используя тождество квадрат суммы двух слагаемых:

Пример 41. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 42. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 43. Вычислить интеграл

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого числитель дроби почленно разделим на знаменатель:

Используя свойство 2 определенного интеграла, получим

Рассмотрим каждый интеграл отдельно. Умножим и разделим числитель первой подынтегральной функции на 2:

Согласно соотношению получим

Во втором интеграле воспользуемся свойством 1:

Значит, данный интеграл равен

При вычислении определенных интегралов широко используются метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка


7271f726
На главную