Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Ограничения функции на данное множество

Пусть вещественнозначная функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}$ , и $ {\omega}\sbs{\Omega}$  -- некоторое подмножество этой области; тем самым, функция $ f(x)$ определена и при всех $ x\in{\omega}$ . Если теперь рассматривать значения $ f(x)$ лишь в точках $ x\in{\omega}$ , а вне $ {\omega}$ вообще не рассматривать, то получаем функцию, областью определения которой служит множество $ {\omega}$ :

 

$\displaystyle f\Bigl\vert _{{\omega}}:{\omega}\longrightarrow \mathbb{R};\ f\Bigl\vert _{{\omega}}(x)=f(x).$

Функция $ f\Bigl\vert _{{\omega}}$ называется ограничением функции $ f$ на множество $ {\omega}$ .

        Пример 7.8   Функция $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ . Рассмотрим в качестве множества $ {\omega}$ круг $ B=B_1^0=\{x\in\mathbb{R}^2:\vert x\vert<1\}.$ Тогда ограничение $ f\vert _B$ задаётся той же формулой: $ f\vert _B(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , но теперь мы можем брать в качестве аргументов только такие точки $ x=(x_1;x_2)$ , для которых $ x_1^2+x^2_2<1$ , то есть $ x\in B$ .

Если же взять за множество $ {\omega}$ прямую $ l$ с уравнением $ x_2=2x_1$ на плоскости $\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=x_1+x_2=x_1+2x_1=3x_1,$

либо

$\displaystyle g(x)=f\vert _l(x)=\frac{1}{2}x_2+x_2=\frac{3}{2}x_2.$

В первом случае задающее ограничение $ f\vert _l$ выражение зависит лишь от $ x_1$ и задаёт функцию одного переменного $ x_1$ : $ g_1(x_1)=3x_1$ , где $ x_1\in\mathbb{R}$ , а во втором случае -- лишь от $ x_2$ и задаёт другую функцию одного переменного: $ g_2(x_2)=\frac{3}{2}x_2$ , где $ x_2\in\mathbb{R}$ .     

Функции $ g_1$ и $ g_2$ , выражающие значение ограничения через меньшее, по сравнению с исходным, число переменных (в данном примере -- через одну переменную, $ x_1$ или $ x_2$ ) называются параметризациями ограничения $ g=f\vert _{{\omega}}$ . Те переменные, от которых зависит параметризация, называются параметрами ограничения (точнее, параметрами рассматриваемой параметризации; как показывает приведённый выше пример, одно и то же ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ может иметь различные параметризации).

При рассмотрении ограничения функции разумно использовать те параметры, при которых параметризация задаётся более простой формулой.

        Пример 7.9   Пусть функция $ f(x)=x_1^3+x^3_2$ определена на всей плоскости $ \mathbb{R}^2$ с переменными $ (x_1;x_2)$ . Рассмотрим ограничение этой функции на кубическую параболу $ x_2=x_1^3$ , то есть на множество $ {\omega}$ тех точек плоскости, что связаны уравнением $ {x_2=x_1^3}$ . Уравнение параболы можно записать также в виде $ x_1=\sqrt[3]{x_2}$ . Используя эти два уравнения, мы можем получить параметризацию ограничения $ f\vert _{{\omega}}$ с помощью параметра $ x_1$ :

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x)=x_1^3+x_1^9=g_1(x_1),$

и с помощью параметра $ x_2$ :

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x)=x_2+x_2^3=g_2(x_2).$

По-видимому, вторая параметризация предпочтительнее в силу большей простоты выражения.     

Не должно создаваться впечатления, будто параметрами ограничения могут выступать лишь какие-либо из исходных переменных, от которых зависит рассматриваемая функция $ f$ . В следующем примере гораздо более удобной для параметризации служит переменная, равная полярному углу $ {\varphi}$ , а не какая-либо из координат $ x_1$ или $ x_2$ .

        Пример 7.10   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1+x_2$ , заданную на плоскости $ x_1Ox_2$ , и окружность $ {\omega}=\{x_1^2+x_2^2=R^2\}$ . Ограничение $ f\vert _{{\omega}}$ с параметром $ {\varphi}$ , равным полярному углу, отыскивается тогда с помощью соотношений между декартовыми и полярными координатами:

$\displaystyle x_1=r\cos{\varphi};\ x_2=r\sin{\varphi},$

где $ r$  -- полярный радиус, равный $ \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ . Тогда уравнение окружности можно записать как $ r=R$ , а функция $ f\vert _{{\omega}}$ будет задаваться равенством

 

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x_1;x_2)=R\cos{\varphi}+R\sin{\varphi}=R(\cos{\varphi}+\sin{\varphi})=g({\varphi}),$

Заметим, что невозможно получить параметризацию этого ограничения с помощью параметров $ x_1$ или $ x_2$ на всей окружности $ {\omega}$ сразу: при одном и том же $ x_1$ (или $ x_2$ ) в точках окружности, симметричных относительно оси $ Ox_1$ (или $ Ox_2$ соответственно), функция $ f$ принимает разные значения. Однако если в качестве $ {\omega}$ рассматривать не всю окружность, а, скажем, её верхнюю часть, которая задаётся уравнением $ x_2=\sqrt{R^2-x_1^2}$ , то ограничение на $ {\omega}$ можно будет параметризовать с помощью параметра $ x_1$ :

$\displaystyle f\vert _{{\omega}}(x_1;x_2)=x_1+\sqrt{R^2-x_1^2}=g_1(x_1),$

где $ x_1\in[-R;R]$ .

Аналогично можно параметризовать ограничение $ f$ на нижнюю часть окружности, использовав уравнение этой нижней части: $ x_2=-\sqrt{R^2-x_1^2}$ . С помощью параметра $ x_2$ можно параметризовать ограничение $ f$ на правую (при $ x_1\geqslant 0$ ) или левую (при $ x_1\leqslant 0$ ) половины окружности.     

 

Основные свойства определённого интеграла

1. , где с — число

2.

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа слагаемых.

3.

4. , где a<c<b

Свойство 4 позволяет разбивать отрезок интегрирования на части. Свойство 4 называют аддитивностью определённого интеграла. Свойство применяют при вычислении площадей фигур.

Определённый интеграл применяют для решения геометрических и физических задач. Например, вычисление площадей фигур, объёмов тел вращения, работы переменной силы, расстояния при прямолинейном перемещении, длины дуги плоской кривой, объёма тел, площади поверхности вращения, статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой и многие другие прикладные задачи.

7271f726
На главную