Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Дифференцируемость функции и дифференциал

Пусть функция $ f(x)$ задана в некоторой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , и $ x^0$  -- внутренняя точка этой области. Пусть $ x$  -- произвольная точка этой же области $ {\Omega}$ . Разность $ {\Delta}x=x-x^0$ называется приращением аргумента $ x$ ; $ {\Delta}x=({\Delta}x_1;\dots;De x_n$ , где $ {\Delta}x_i=x_i-x^0_i$ . Разность значений функции $ {\Delta}f=f(x)-f(x^0)$ называется приращением, или полным приращением функции $ f$ в точке $ x^0$ , соответствующим приращению аргумента $ {\Delta}x$ ; $ {\Delta}f={\Delta}f(x^0;{\Delta}x)$  -- это функция от точки $ x^0$ и приращения $ {\Delta}x$ .

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

$\displaystyle {\Delta}f(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n+{\alpha}(x^0;{\Delta}x),$(7.2)

где $ D_1(x^0),\dots,D_n(x^0)$  -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от $ {\Delta}x$ , но могут измениться, если сменить точку $ x^0$ . Относительно величины $ {\alpha}(x^0;{\Delta}x)$ мы предположим, что это функция, при базе $ {\Delta}x\to0$ являющаяся величиной большего порядка малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

$\displaystyle \lim_{\vert{\Delta}x\vert\to0}\frac{{\alpha}(x^0;{\Delta}x)}{\vert{\Delta}x\vert}=0.$

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента $ {\Delta}x$ , если точка $ x^0$ фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно $ \vert{\Delta}x\vert$ означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

        Определение 7.11   Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию $ f(x)$ называют дифференцируемой в точке $ x^0$ , а линейную относительно $ {\Delta}x$ функцию

$\displaystyle df(x^0;{\Delta}x)=D_1(x^0){\Delta}x_1+\ldots+D_n(x^0){\Delta}x_n,$

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции $ f$ в точке $ x^0$ .

Если функция $ f$ является дифференцируемой в любой точке открытой области $ {\Omega}$ , то функцию $ f$ называют дифференцируемой в области $ {\Omega}$ .     

Таким образом, приращение $ {\Delta}f$ дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала $ df$ , то есть линейной части приращения, и остатка $ {\alpha}$ , который имеет более высокий порядок малости, чем приращение $ {\Delta}x$ :

$\displaystyle {\Delta}f=df+{\alpha}.$

        Теорема 7.8   Дифференцируемая в точке $ x^0$ функция является непрерывной в этой точке.

        Доказательство.     Действительно, если $ \vert{\Delta}x\vert\to0$ , то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид $ D_i(x^0){\Delta}x_i$ ; множитель $ D_i(x^0)$ не зависит от $ {\Delta}x$ , то есть постоянен, а $ {\Delta}x_i\to0$ , поскольку $ \vert{\Delta}x_i\vert\leqslant \vert{\Delta}x\vert.$ Величина $ {\alpha}$ также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем $ \vert{\Delta}x\vert$ . Значит, $ {\Delta}f=df+{\alpha}\to0$ . Но условие $ {\Delta}f=f(x^0+{\Delta}x)-f(x^0)\to0$ как раз и означает, что $ f(x^0+{\Delta}x)\to f(x^0)$ при $ {\delta}x\to0$ , то есть что функция $ f$ непрерывна в точке $ x^0$ .

Пример 66. Найти несосбтвенный интеграл

Решение. Пользуясь определнием (2.26), получим

Значит данный несобственный интеграл сходится.

Пример 67. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Решение. Здесь при подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв. Согласно определению (2.27)

то есть несобственный интеграл расходится.

    

7271f726
На главную