Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Инвариантность дифференциала

Пусть, как в предыдущем параграфе, $ {y=h(u)=f(g(u))=(f\circ g)(u)}$  -- сложная функция, в которой $ x_i=g_i(u)$  -- промежуточные переменные. Найдём и сравним друг с другом дифференциалы функций $ y=f(x)$ и $ y=h(u)$ , то есть дифференциалы величины $ y$ , вычисленные:
а) в предположении, что независимыми переменными служат $ x_1,\ \dots,\ x_n$ ;
б) в предположении, что независимыми переменными служат $ u_1,\dots,u_m$ .

В случае а) дифференциал равен

$\displaystyle dy= \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)dx_1+ \frac{\partial f}{\… …l f}{\partial x_n}(x)dx_n= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x)dx_i.$

В случае б) дифференциал, с учётом формулы для производной сложной функции, можно вычислить так:

$\displaystyle dy= \frac{\partial h}{\partial u_1}(u)du_1+ \frac{\partial h}{\… …tial h}{\partial u_n}(u)du_n= \sum_{j=1}^m\frac{\partial h}{\partial u_j}du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{j=1}^m\Bigl( \frac{\partial f}{\partial x_1}(g(u))\frac{\… … \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u))\frac{\partial g_i}{\partial u_j}(u)du_j=$   
$\displaystyle =\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(g(u)) \Bigl( \su… … dg_i(u;du)= \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x(u)) dx_i(u;du).$   

Полученное выражение совпадает по виду с тем, что получено для $ dy$ в п. а). Разница лишь в том, что вместо дифференциалов независимых переменных $ x_i$ теперь стоят дифференциалы функций $ x_i=g_i(u)$ . Это свойство называется инвариантностью дифференциала. Оно свидетельствует о том, что формулу

 

$\displaystyle dy=\sum_{i=1}^n \frac{\partial y}{\partial x_i}(x) dx_i$

можно применять, не заботясь о том, являются ли $ x_i$ независимыми или же промежуточными переменными.

определенный интеграл и его приложения. несобственные интегралы

2.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы и его геометрический смысл

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке Выполним следующие действия:

1) с помощью точек разобьем отрезок произвольным способом на частичных отрезков длиною

2) в каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, то есть величину

3) умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка:

4) составим сумму всех таких произведений . (2.1)

Сумма вида (2.1) называется интегральной суммой функции на отрезке Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка:

5) найдем предел интегральной суммы (2.1), когда так, что

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается Таким образом,

(2.2)

Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, подынтегральной функцией, подынтегральным выражением, переменной интегрирования, отрезок областью (отрезком) интегрирования.

Функция для которой на отрезке существует определенный интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке то определенный интеграл существует.

Непрерывность функции является достаточным условием её интегрируемости.

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции снизу — осью сбоку — прямыми и


7271f726
На главную