Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Равенство смешанных частных производных

Ранее мы отмечали, что при некоторых дополнительных предположениях частные производные высших порядков, отличающиеся лишь порядком дифференцирований, совпадают. Теперь мы уточним эти предположения и сформулируем утверждение о равенстве смешанных производных. Оказывается, достаточно предположить непрерывность этих смешанных производных.

        Теорема 7.12   Пусть функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ , причём в некоторой окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ ($ {\delta}>0$ ) точки $ x^0\in{\Omega}$ существуют смешанные частные производные

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x)$ и $\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x), \ i\ne j,$

и обе эти производные непрерывны в точке $ x^0$ . Тогда эти смешанные производные совпадают в точке $ x^0$ :

 

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)= \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0).$

        Доказательство.     Пусть $ e_i$ и $ e_j$  -- единичные базисные векторы в $ \mathbb{R}^n$ вида $ (0;\dots;0;1;0;\dots;0)$ , где 1 стоит, соответственно, на $ i$ -м и $ j$ -м местах. Пусть $ {\Delta}x_i\ne0$ и $ {\Delta}x_j\ne0$ (для определённости будем далее считать, что $ {\Delta}x_i>0$ и $ {\Delta}x_j>0$ ). Рассмотрим приращения

$\displaystyle {\Delta}x^{(i)}={\Delta}x_ie_i=(0;\dots;0;{\Delta}x_i;0;\dots;0)$ и $\displaystyle {\Delta}x^{(j)}={\Delta}x_je_j=(0;\dots;0;{\Delta}x_j;0;\dots;0)$

и будем считать, что числа $ {\Delta}x_i$ и $ {\Delta}x_j$ достаточно малы, так что точка $ x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)}$ лежит в окрестности $ B^{x^0}_{{\delta}}$ .

Положим

$\displaystyle D=f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})- f(x^0+{\Delta}x^{(i)})- f(x^0+{\Delta}x^{(j)})+f(x^0)$

и введём две функции:

$\displaystyle g^{(i)}(x)=f(x+{\Delta}x^{(i)})-f(x)$ и $\displaystyle g^{(j)}(x)=f(x+{\Delta}x^{(j)})-f(x).$

Тогда

$\displaystyle D=[f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})- f(x^0+{\Delta}x^{(j)})]- [f(x^0+{\Delta}x^{(i)})-f(x^0)]=$   
$\displaystyle =g^{(i)}(x^0+{\Delta}x^{(j)})-g^{(i)}(x^0)= {\Delta}g^{(i)}$   

и

$\displaystyle D=[f(x^0+{\Delta}x^{(i)}+{\Delta}x^{(j)})- f(x^0+{\Delta}x^{(i)})]- [f(x^0+{\Delta}x^{(j)})-f(x^0)]=$   
$\displaystyle =g^{(j)}(x^0+{\Delta}x^{(i)})-g^{(j)}(x^0)={\Delta}g^{(j)}.$   

Полученные разности $ {\Delta}g^{(i)}$ и $ {\Delta}g^{(j)}$ тождественно равны друг другу. Применим к первой из них теорему Лагранжа на отрезке $ [x^0_j;x_j^0+{\Delta}x_j]$ по переменной $ x_j$ :

$\displaystyle D={\Delta}g^{(i)}=g^{(i)}(x^0+{\Delta}x^{(j)})-g^{(i)}(x^0)= \frac{\partial g^{(i)}}{\partial x_j}(x^0+te_j){\Delta}x_j=$   
$\displaystyle =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j+{\Delta}x^{(i)})- \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j)\Bigr){\Delta}x_j,$   

где $ t\in[0;{\Delta}x_j]$  -- некоторая промежуточная точка. Аналогично, применяя ко второй из разностей, $ {\Delta}g^{(j)}$ , теорему Лагранжа на отрезке $ [x^0_i;x_i^0+{\Delta}x_i]$ по переменной $ x_i$ , получаем

$\displaystyle D={\Delta}g^{(j)}=g^{(j)}(x^0+{\Delta}x^{(i)})-g^{(j)}(x^0)= \frac{\partial g^{(j)}}{\partial x_i}(x^0+te_i){\Delta}x_i=$   
$\displaystyle =\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i+{\Delta}x^{(j)})- \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i)\Bigr){\Delta}x_i,$   

где $ s\in[0;{\Delta}x_i]$  -- некоторая промежуточная точка. (Попутный вопрос к читателю: почему к функциям $ g^{(i)}$ и $ g^{(j)}$ можно было применять теорему Лагранжа, и почему получились именно такие выражения, как написано выше?)

К получившимся в правых частях разностям частных производных

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j+{\Delta}x^{(i)})- \frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+te_j)$

и

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+te_i+{\Delta}x^{(j)})- \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i)$

снова применим теорему Лагранжа и получим

$\displaystyle D=\frac{\partial}{\partial x_i}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_j}(x^0+s_1e_i+te_j)\Bigr){\Delta}x_i{\Delta}x_j,$

где $ s_1\in[0;{\Delta}x_i]$ , и

$\displaystyle D=\frac{\partial}{\partial x_j}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0+se_i+t_1e_j)\Bigr){\Delta}x_i{\Delta}x_j,$

где $ t_1\in[0;{\Delta}x_j]$ , и, следовательно,

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0+s_1e_i+te_j){\Delta}x_i{\Delta}x_j= \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0+se_i+t_1e_j){\Delta}x_i{\Delta}x_j.$

(Снова продумайте вопрос о том, почему можно было применять теорему Лагранжа.) Так как по предположению $ {\Delta}x_i\ne0$ и $ {\Delta}x_j\ne0$ , то на $ {\Delta}x_i{\Delta}x_j$ можно левую и правую части поделить и получить

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0+s_1e_i+te_j)= \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0+se_i+t_1e_j).$

При $ {\Delta}x_i\to0$ и $ {\Delta}x_j\to0$ величины $ s,s_1$ и $ t,t_1$ стремятся к 0. Поэтому, переходя к пределу при $ {\Delta}x_i\to0$ и $ {\Delta}x_j\to0$ в обеих частях последнего равенства, получаем

$\displaystyle \frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)= \frac{\pat^2f}{\pat x_j\pat x_i}(x^0)$

в силу того, что, по предположению теоремы, обе смешанные частные производные непрерывны в точке $ x^0$ . Итак, теорема доказана.     

Из доказанной теоремы вытекает такое следствие:

        Следствие 7.1   Пусть даны две частные производные порядка $ m$ :

$\displaystyle g(x)=\frac{\pat^mf}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}\ldots\pat x_{i_m}}(x)$

и

$\displaystyle h(x)=\frac{\pat^mf}{\pat x_{j_1}\pat x_{j_2}\ldots\pat x_{j_m}}(x),$

которые существуют в некоторой окрестности точки $ x^0$ , непрерывны в точке $ x^0$ и отличаются только порядком дифференцирований, то есть если списки номеров переменных $ \{i_1;i_2;\dots;i_m\}$ и $ \{j_1;j_2;\dots;j_m\}$ состоят из равных количеств каждого из чисел $ 1,2,\dots,n$ . Предположим также, что все частные производные меньшего порядка $ m_1<m$

$\displaystyle \frac{\pat^{m_1}f}{\pat x_{k_1}\pat x_{k_2}\ldots\pat x_{k_{m_1}}}(x),$

у которых список номеров переменных $ \{k_1;k_2;\dots;k_{m_1}\}$ есть часть списка $ \{i_1;i_2;\dots;i_m\}$ , также определены в окрестности точки $ x^0$ и непрерывны в этой точке. Тогда смешанные производные $ g(x)$ и $ h(x)$ принимают равные значения в точке $ x^0$ :

$\displaystyle \frac{\pat^mf}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}\ldots\pat x_{i_m}}(x^0)= \frac{\pat^mf}{\pat x_{j_1}\pat x_{j_2}\ldots\pat x_{j_m}}(x^0).$

        Доказательство.     Для доказательства этого следствия воспользуемся методом "пузырьковой сортировки": будем переставлять, пользуясь доказанной теоремой и проверяя списки номеров переменных слева направо, те соседние дифференцирования в производных $ g(x)$ и $ h(x)$ , в которых $ i_k>i_{k+1}$ или $ j_l>j_{l+1}$ .

В результате конечного числа таких перестановок, оба значения $ f(x^0)$ и $ g(x^0)$ окажутся равными значению одной и той же смешанной частной производной

$\displaystyle \frac{\pat^mf}{\pat x_{p_1}\pat x_{p_2}\ldots\pat x_{p_m}}(x^0),$

в которой номера переменных идут в порядке неубывания, то есть $ {1\leqslant p_1\leqslant p_2\leqslant \ldots\leqslant p_m\leqslant n}$ . Следовательно, совпадают числа $ f(x^0)$ и $ g(x^0)$ , что и требовалось доказать.     

        Замечание 7.4   Приводя смешанную частную производную к виду

$\displaystyle \frac{\pat^mf}{\pat x_{p_1}\pat x_{p_2}\ldots\pat x_{p_m}},$

где $ 1\leqslant p_1\leqslant p_2\leqslant \ldots\leqslant p_m\leqslant n$ , мы можем записать её в виде

$\displaystyle \frac{\pat^mf}{\pat x_1^{{\alpha}_1}\pat x_2^{{\alpha}_2}\ldots\pat x_n^{{\alpha}_n}},$

где $ {\alpha}_j\geqslant 0$ и $ {\alpha}_1+{\alpha}_2+\ldots+{\alpha}_n=m$ . (Если $ {\alpha}_j=0$ , то соответствующий "множитель" в "знаменателек мы не пишем, а вместо $ \pat x_k^1$ пишем просто $ \pat x_k$ .)     

        Пример 7.17   Если две производных

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}$

и

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}$

непрерывны, то они совпадают, так как соответствующие списки номеров переменных равны, соответственно, $ \{5;2;5;1;2\}$ и $ \{1;2;2;5;5\}$ и отличаются лишь порядком перечисления номеров. Значит, частные производные отличаются лишь порядком дифференцирований, и поэтому

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$

В этом примере перестановки дифференцирований можно выполнить в следующем порядке:

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_5\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{… …_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2}=$   
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_1\pat x_5\pat x_5\pat x_2}= \frac… …_5\pat x_5\pat x_2}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_5\pat x_2\pat x_5}=$   
$\displaystyle =\frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2\pat x_2\pat x_5\pat x_5}= \frac{\pat^5f}{\pat x_1\pat x_2^2\pat x_5^2}.$   

При первой и четвёртой перестановках переставляемые диффиеренцирования -- внешние и выполняются непосредственным применением теоремы к функциям $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1\pat x_2}}(x)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^3f}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_5\pat x_2}}(x)$ соответственно; эти производные третьего порядка предполагаются непрерывными. При остальных перестановках переставляются внутренние дифференцирования. При этом, например, при второй перестановке, рассуждаем так: имеем равенство

$\displaystyle \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_5\pat x_1\pat x_2}= \frac{… …c{\pat^2}{\pat x_5\pat x_1}\bigl(\frac{\partial f}{\partial x_2}\bigr)\Bigr). $

Функции $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ и $ \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr)$ непрерывны по предположению, так как содержат меньше дифференцирований по $ x_2$ и $ x_5$ , чем исходные производные пятого порядка, и столько же дифференцирований по остальным переменным. Поэтому

$\displaystyle \frac{\textstyle{\pat^2}}{\textstyle{\pat x_5\pat x_1}}\bigl(\dis… …e{\pat x_1\pat x_5}}\bigl(\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_2}}\bigr),$

и мы можем продолжить равенство:

 

$\displaystyle \frac{\pat^2}{\pat x_2\pat x_5}\Bigl( \frac{\pat^2}{\pat x_5\pat… … x_2}\bigr)\Bigr)= \frac{\pat^5f}{\pat x_2\pat x_5\pat x_1\pat x_5\pat x_2}, $

и вторая перестановка обоснована.     

7271f726
На главную