Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Пусть в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ задана функция $ f(x)$ , которая в некоторой точке $ x^0\in{\Omega}$ имеет частные производные $ \displaystyle{\frac{\partial f}{\partial x_i}}(x^0)$ по всем переменным $ x_i$ , $ i=1,\dots,n$ .

        Определение 8.1   Вектор, компонентами которого служат значения частных производных, то есть вектор

 

$\displaystyle g(x^0)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x);\dots;\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^0)\Bigr),$

называется градиентом функции $ f(x)$ , вычисленным в точке $ x^0$ . Градиент $ g(x^0)$ обозначается также $ (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)$ и $ (\nabla f)(x^0)$ .

Если частные производные существуют во всех точках области $ {\Omega}$ , то градиент, вычисленный в произвольной переменной точке $ x\in{\Omega}$ , представляет собой вектор-функцию $ g(x)=(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)$ со значениями в $ \mathbb{R}^n$ .     

В некоторых точках $ x^0$ градиент может оказаться нулевым вектором. Тогда значения всех частных производных в точке $ x^0$ будут равны 0:

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)=0\Longrightarrow \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)=0$ при всех $\displaystyle i=1,\dots,n.$

Такие точки $ x^0$ называются стационарными точками функции $ f(x)$ .

        Пример 8.1   Рассмотрим функцию $ f(x_1;x_2)=x_1^2+3x_1x_2+2x_2^2-4x_1+3x_2$ , заданную на всей плоскости $ \mathbb{R}^2=x_1Ox_2$ . Поскольку

$\displaystyle f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4;\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3,$

то

$\displaystyle (\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x)=(2x_1+3x_2-4;3x_1+4x_2+3),$

а стационарные точки задаются системой уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} f'_{x_1}(x)=2x_1+3x_2-4=0;\\ f'_{x_2}(x)=3x_1+4x_2+3=0. \end{array}\right.$

Решая эту систему из двух линейных уравнений, находим единственное решение:

 

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1=18;\\ x_2=-25. \end{array}\right.$

Значит, $ x^0=(18;-25)$  -- единственная стационарная точка этой функции.     

Методом интегрирования по частям называется нахождение интеграла по формуле

(1.6)

где функции, имеющие непрерывные производные.

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла который может оказаться существенно более простым, чем исходный, или когда он будет ему подобен.

Для применения формулы (1.6) к некоторому интегралу следует подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей: и за всегда выбирается такое выражение, содержащее из которого посредством интегрирования можно найти за в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается. Иногда формулу интегрирования по частям приходится использовать несколько раз.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислить методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида где многочлен, число, Удобно положить а за обозначить все остальные сомножители подынтегрального выражения, то есть

В данном случае формула (1.6) применяется столько раз, какова степень многочлена

2. Интегралы вида В таких интегралах удобно положить а за обозначить остальные сомножители, то есть

3. Интегралы вида где и числа. В таком случае за можно принять функцию или Формула интегрирования по частям будет применяться два раза. В повторном интегрировании по частям за необходимо принять аналогичную в первом применении функцию. В таком случае получается уравнение относительно данного по условию интеграла, из которого легко найти этот интеграл. При неудачном выборе и в повторном интегрировании получается бесполезное тождество.

7271f726
На главную