Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Приближённое нахождение первообразных

Пусть на интервале $ (a;b)$ задана непрерывная функция $ f(x)$ , для которой нужно найти первообразную $ F(x)$ . Согласно определению первообразной, для этого нужно решить уравнение

$\displaystyle F'(x)=f(x),$(1.6)

найдя неизвестную функцию $ F(x)$ . Относительно этой неизвестной функции уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно приближённо решать разными способами, которые вы будете изучать в курсе дифференциальных уравнений. Опишем здесь простейший из них, называемый методом Эйлера.

Из всего семейства первообразных $ \{F(x)+C\}$ будем отыскивать ту первообразную, которая в некоторой фиксированной точке $ x_0\in(a;b)$ принимает фиксированное значение $ F(x_0)=y_0$ . Это условие выделяет из семейства первообразных одну функцию: все остальные первообразные $ G(x)=F(x)+C$ отличаются от этой фиксированной первообразной на постоянное слагаемое $ C\ne0$ и, следовательно, не удовлетворяют условию $ G(x_0)=y_0$ .

Заметим, что из уравнения (1.6) следует, что

 

$\displaystyle dF(x_0;dx)=F'(x_0)dx=f(x_0)dx;$

найденный дифференциал равен главной линейной части приращения функции:

$\displaystyle {\Delta}F(x_0;dx)=F(x_0+dx)-F(x_0)\approx dF(x_0;dx)=f(x_0)dx,$

откуда

$\displaystyle F(x_0+dx)\approx F(x_0)+f(x_0)dx=y_0+f(x_0)dx.$

Здесь мы учли начальное условие $ F(x_0)=y_0$ . Тем самым, взяв некоторое приращение независимого переменного $ x$ , равное $ dx\ne0$ , мы сможем приближённо найти значение первообразной $ F(x)$ в "соседней" точке $ x_1=x_0+dx$ :

$\displaystyle F(x_1)\approx y_0+f(x_0)dx.$

Начав аналогичные вычисления с точки $ x_1$ вместо $ x_0$ , получаем

$\displaystyle F(x_2)\approx F(x_1)+f(x_1)dx,$

где $ x_2=x_1+dx=x_0+2dx$ ; затем точно так же получаем

$\displaystyle F(x_3)\approx F(x_2)+f(x_2)dx,$

где $ x_3=x_2+dx=x_0+3dx$ , и т. д. По найденным в известных точках $ {x_1=x_0+dx}$ , $ {x_2=x_0+2dx}$ , $ x_3=x_0+3dx,\dots$ приближённым значениям первообразной $ F(x_1),\ F(x_2),\ F(x_3),\dots$ мы можем построить график функции $ y=F(x)$ (разумеется, приближённо, поскольку значения $ F(x)$ известны лишь приближённо). Выбирая $ dx>0$ , мы построим этот график при $ x\geqslant x_0$ , то есть на $ [x_0;b)$ , а повторив процесс при $ dx<0$ , построим часть графика на $ (a;x_0]$ .

Заметим, что шаг по оси $ x$ , то есть величину $ dx$ , не обязательно выбирать одинаковым на всех этапах: $ dx=h_i$ может зависеть от номера этапа $ i$ . Рекомендуется учитывать при этом выборе поведение функции $ f(x)$ и уменьшать шаг $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ увеличиваются, и увеличивать $ h_i$ , если значения $ f(x_i)$ уменьшаются, чтобы величины приращений $ {\Delta}F_i=F(x_{i+1})-F(x_i)$ были бы примерно одинаковы по абсолютной величине. Это даст возможность более точно построить график первообразной $ F(x)$ .

Более подробно о методах приближённого решения дифференциального уравнения (1.6), не только о методе Эйлера, но и о других, более эффективных, вы можете прочитать, например, в книгах:

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В., Вычислительные методы для инженеров. -- М., Высш. шк., 1994;

2. Ортега Дж., Пул У., Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. -- М., Наука, 1986.

Пример 64. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Пользуясь равенством (2.24), получим

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

Пример 65. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение. Используя определение (2.25), получим:

Рассмотрим интеграл Для его нахождения воспользуемся формулой интегрирования по частям

Пусть тогда

Вернемся к данному интегралу:

Следовательно, данный несобственный интеграл расходится.

7271f726
На главную