Курсовая, контрольная работа. Примеры выполнения

Векторная алгебра
Пределы
Практикум

Неопределённый, несобственные и определенный интеграл Функции Примеры решения задач

Вывод формулы Тейлора

Предположим, что в рассматриваемой области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ функция $ f(x)$ имеет все частные производные до порядка $ m+1$ включительно. Рассмотрим прямую $ \ell$ , соединяющую фиксированную внутреннюю точку $ x^0\in{\Omega}$ с произвольной точкой $ x\in{\Omega}$ и будем предполагать, что все точки отрезка, соединяющего $ x^0$ с $ x$ , также принадлежат $ {\Omega}$ :

 

$\displaystyle x^t=x^0+t(x-x^0)\in{\Omega}$ при $\displaystyle t\in[0;1].$

Рассмотрим ограничение функции $ f$ на прямую $ \ell$ (точнее, на её часть, лежащую в пределах области $ {\Omega}$ ) и параметризуем это ограничение параметром $ t$ . Полоучим функцию одного переменного $ t$ :

$\displaystyle \wt f(t)=f(x^0+t(x-x^0)).$

К функции $ \wt f$ можно применить обычную (приведённую выше) формулу Тейлора в точке $ t_0=0$ :

$\displaystyle \wt f(t)=\wt f(0)+\wt f'(0)t+\frac{1}{2!}\wt f''(0)t^2+\ldots+ \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)t^m+ \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r)t^m,$   

где $ r$  -- некоторая точка отрезка между 0 и $ t$ . Если $ t\in[0;1]$ , то $ r$ также принадлежит отрезку $ [0;1]$ . Отсюда при $ t=1$ получаем

$\displaystyle \wt f(1)=\wt f(0)+\wt f'(0)+\frac{1}{2!}\wt f''(0)+\ldots+ \frac{1}{m!}\wt f^{(m)}(0)+ \frac{1}{(m+1)!}\wt f^{(m+1)}(r),$(9.1)

где $ r\in[0;1]$ .

Очевидно, что $ \wt f(0)=f(x^0)$ . Посмотрим, как производные

$\displaystyle \wt f'(0),\ \wt f''(0),\ \dots,\ \wt f^{(m)}(0),\ \wt f^{(m+1)}(r)$

выражаются через частные производные функции $ f$ .

Для нахождения $ \wt f'(t)$ воспользуемся формулой производной сложной функции:

$\displaystyle \wt f'(t)=\frac{d}{dt}f(x^0+t(x-x^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_1^0+t(x_… …ts+ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x^t)\cdot\frac{d}{dt}(x_n^0+t(x_n-x_n^0))=$   
$\displaystyle =\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^t)(x_1-x_1^0)+\ldots+ \frac{\… …(x^t)(x_n-x_n^0)= \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)=$   
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^t)\cdot(x-x^0).$   

При $ t=0$ получаем

$\displaystyle \wt f'(0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)=$(9.2)
$\displaystyle =(\mathop{\rm grad}\nolimits f)(x^0)\cdot(x-x^0).$(9.3)

Вычислим теперь $ \wt f''(0)$ , для чего найдём $ \wt f''(t)$ :

$\displaystyle \wt f''(t)=\frac{d}{dt}\wt f'(t)=\frac{d}{dt}\Bigl( \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^t)(x_i-x_i^0)\Bigr)=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_{i_1}}(x^t)\Bigr)\Bigr] (x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n\Bigl[ \sum_{i_1=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_2}-x^0_{i_2}) \Bigr](x_{i_1}-x^0_{i_1})=$   
$\displaystyle =\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_1=2}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^t)(x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$   

Положив в этой формуле $ t=0$ , получаем:

$\displaystyle \wt f''(0)=\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2}).$(9.4)

Каждое последующее дифференцирование, как нетрудно понять, будет увеличивать на единицу количество суммирований от 1 до $ n$ , порядок частных производных функции $ f$ , вычисленных в точке $ x^0$ , а также количество сомножителей-биномов вида $ (x_{i_j}-x^0_{i_j})$ . Для третьей производной получаем

$\displaystyle <tex2html_comment_mark>109 \wt f^{(3)}(0)= \sum_{i_1=1}^n \sum_… …t x_{i_3}}(x^0) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2}) (x_{i_3}-x^0_{i_3}),$   

а для производной порядка $ m$  --

$\displaystyle \wt f^{(m)}(0)= \sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_m=… …_m}}(x^0) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots (x_{i_m}-x^0_{i_m}).$(9.5)

Правая часть формулы (9.5) содержит $ n^m$ слагаемых, в каждом из которых $ m+1$ множитель. Точно так же выписывается и выражение, задающее $ \wt f^{(m+1)}(r)$ :

$\displaystyle \wt f^{(m+1)}(r)= \sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_… …(x^r) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots (x_{i_m}-x^0_{i_{m+1}}),$(9.6)

где $ x^r=x^0+r(x-x^0)$ .

Подставляя выражения (9.2), (9.4),…, (9.5), (9.6) в правую часть формулы (9.1), получаем в результате следующее утверждение:

        Теорема 9.1 (Формула Тейлора для функции нескольких переменных)   Пусть функция $ f(x)$ задана в области $ {\Omega}\sbs\mathbb{R}^n$ и имеет в $ {\Omega}$ все частные производные до порядка $ m+1$ включительно. Пусть $ x^0$ и $ x$  -- две точки области $ {\Omega}$ , такие что весь отрезок между ними целиком лежит в $ {\Omega}$ . Тогда для некоторой точки $ x^r$ этого отрезка имеет место равенство

$\displaystyle f(x)=f(x^0)+ \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)+$(9.6*)
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})+\ldots+$   
$\displaystyle +\frac{1}{m!}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_m=1}^n… …_m}}(x^0) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots (x_{i_m}-x^0_{i_m})+$   
$\displaystyle +\frac{1}{(m+1)!}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_{m… …(x^r) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots (x_{i_m}-x^0_{i_{m+1}}).$(9.7)

    

Сумма всех слагаемых в правой части формулы (9.6*), кроме записанных в последней строке, называется многочленом Тейлора функции $ f$ в точке $ x^0$ , а эта последняя строка содержит остаточный член формулы Тейлора. Считая его малым при небольших расстояниях между $ x$ и $ x^0$ (он имеет порядок $ \vert x-x^0\vert^{m+1}$ , в то время как все остальные слагаемые -- порядок не выше $ \vert x-x^0\vert^m$ , если не обращаются в 0), мы можем не учитывать остаточный член и, тем самым, получаем приближённую формулу

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+ \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0)+\notag$   
$\displaystyle +\frac{1}{2!}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_{i_1}\pat x_{i_2}}(x^0)(x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})+\ldots+\notag$   
$\displaystyle +\frac{1}{m!}\sum_{i_1=1}^n \sum_{i_2=1}^n\ldots \sum_{i_m=1}^n… …_m}}(x^0) (x_{i_1}-x^0_{i_1}) (x_{i_2}-x^0_{i_2})\ldots (x_{i_m}-x^0_{i_m}),$   

содержащую лишь значения функции $ f$ и её частных производных, вычисленные в точке $ x^0$ (но не в других точках $ x^r$ ). Эту формулу можно использовать для приближённого вычисления значений функции $ f(x)$ в точках $ x$ , близких к $ x^0$ . На практике её применяют, ввиду большого числа слагаемых в правой части, лишь при небольших значениях $ m$ , как правило, $ m=1$ и $ m=2$ .

При $ m=1$ получается линейное приближение функции $ f$ (нетрудно видеть, что правая часть совпадает с линейной функцией $ y=l(x)$ , графиком которой служит касательная плоскость, проведённая при $ x=x^0$ к графику функции $ y=f(x)$ ):

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^0)(x_i-x_i^0).$   

При $ m=2$ получается квадратичное приближение функции $ f$ :

$\displaystyle f(x)\approx f(x^0)+ \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(… …=1}^n \sum_{j=1}^n\frac{\pat^2f}{\pat x_i\pat x_j}(x^0)(x_i-x^0_i)(x_j-x^0_j).$(9.8)

Многочлен Тейлора в этом случае оказывается многочленом второй степени относительно переменных $ x_1,\ \dots,\ x_n$ .

Пример 2.5. Вычислить

Задания для самостоятельной работы

Задания

Ответы

1.

2.

3.

4.

5.

Для вычисления определённого интеграла методом по частям применяют формулу

Пример 2.6. Вычислить

Пример 2.7. Вычислить

Задания для самостоятельной работы

Задания

Ответы

1.

2.

3.

4.

5.

7271f726
На главную