Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида 
, где R — рациональная функция своих аргументов 
.
Интегралы указанного вида приводятся к интегралам от рациональных алгебраических
функций с помощью подстановки 
называемой универсальной тригонометрической
подстановкой.
Действительно, так как
то 
Пример 1.6.1. Найти интеграл 
Решение. Применяя универсальную подстановку 
получим 
Пример 1.6.2. Найти интеграл 
Решение. Полагая 
, получим
Универсальная подстановка на практике часто приводит к сложным и трудоемким выкладкам.
Поэтому наряду с универсальной подстановкой полезно знать и другие подстановки.
Рассмотрим следующие случаи:
если функция 
нечетная относительно синуса, т.е. 
, то применима подстановка 
;
если функция нечетная относительно косинуса, т.е. 
, то применима подстановка 
;
если функция четная относительно синуса и косинуса, т.е. 
,
то применима подстановка 
.
Пример 1.6.3. Найти интеграл 
Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно косинуса. Поэтому,
представляя 
в виде 
и делая замену 
, получим
Пример 1.6.4. Найти интеграл 
Решение. Подынтегральная функция нечетная относительно синуса, поэтому применим
подстановку . Тогда 
Следовательно,
Пример 1.6.5. Найти интеграл 
Решение. Подынтегральная функция четная относительно синуса и косинуса,
поэтому применим подстановку . Тогда
Следовательно,
Интегралы вида 
Для нахождения интегралов указанного вида применяются тригонометрические формулы:
