Пример Изобразить область интегрирования и изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Пример Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями , если поверхностная плотность в каждой её точке .

Вычисление криволинейного интеграла II рода.

Пример Применив формулу Грина, вычислить , где L — контур треугольника ОАВ с вершинами в точках О(0, 0), А(1, 0), В(0, 2) (пробегаемый в положительном направлении) и подынтегральные функции

Пример Найти

Пример . Найти интеграл .

Интегрирование рациональных дробей Рациональной дробью называется дробь вида , где P(x) и Q(x) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе.

Пример Найти интеграл Решение. Подынтегральная функция — правильная рациональная дробь. Разложим знаменатель на множители:

Интегрирование некоторых иррациональных функций Интегралы вида

Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида , где R — рациональная функция своих аргументов .

Пример Найти интеграл . Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим

Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.

Интегрирование по частям. Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям

Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Вычисление длины дуги плоской кривой . Если плоская кривая задана уравнением на отрезке и функция непрерывно дифференцируема на отрезке , то длина соответствующей дуги этой кривой равна:

Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций

Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций

Неопределенный интеграл. Пример. Найти неопределенный интеграл, значит вспомнить таблицу производных , свойства неопределенного интеграла, свойства дифференциала, сообразить как выглядит первообразная. и записать совокупность первообразных

Метод подстановки (замены переменных). Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование элементарных дробей

Интегрирование рациональных дробей. Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.

Интеграл произведения синусов и косинусов различных аргументов

Подстановки Эйлера. (1707-1783) Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции. К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими. Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле Пример. Изменить порядок интегрирования

Несобственный интеграл 1-го рода. Пример. Исследовать сходимость интеграла .

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Задачи. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость. .

Исследовать сходимость интеграла. .

Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость. .

. Решение. Имеем . Поэтому точка не является особой точкой подынтегральной функции. Значит, интеграл является несобственным интегралом 1-го рода.

Задача . Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость. .

Задача. Получить рекуррентную формулу для интеграла и вычислить его. .