НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных функций.
Рассмотрим функцию 
, определенную в промежутке 
и интегрируемую на любой его конечной
части 
, т.е 
имеет смысл при любом 
.
Определение. Несобственным интегралом функции в промежутке от 
до 
, называется конечный или бесконечный предел
интеграла при 
. Этот предел обозначают символом:
(4.1.1)
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.
Если предел бесконечен или не существует, то про интеграл говорят, что он расходится.
Аналогично определяется интеграл на промежутке 
:
. (4.1.2)
Интеграл на всей числовой оси (от 
до +)определяется в виде суммы интегралов на полу-бесконечных
промежутках:
. (4.1.3)
Если функция определена и непрерывна на промежутке ,
кроме того, для функции в этом
промежутке существует первообразная 
в классе элементарных функций, то по формуле Ньютона -
Лейбница:
. (4.1.4)
Очевидно что интеграл 
сходится, если существует и конечен:
(4.1.5)
Пример 4.1.1. Вычислить, если это возможно, несобственный интеграл: 
.
Решение. Подынтегральная функция 
определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме того,
имеет первообразную 
. Тогда по определению имеем:
Пример 4.1.2. Сходится ли несобственный интеграл 
?
Решение. Используя определение несобственного интеграла на неограниченном промежутке, вычислим:
Предел бесконечен, поэтому данный интеграл расходится.
Пример 4.1.3. При каких значениях 
сходится интеграл: 
.
Решение. Пусть 
, тогда:
При 
имеем: 
.
Следовательно интеграл сходится при 
и расходится при 
.
Пример 4.1.4. Установить сходимость интеграла 
.
Решение. Используя определение несобственного интеграла, вычислим предел.
.
Предел конечен, следовательно интеграл сходится.
Задачи для самостоятельного решения.
Доказать, что интеграл 
расходится.
Вычислить интеграл 
.
