.
Решение. Имеем 
. Поэтому точка 
не является особой точкой подынтегральной функции.
Значит, интеграл 
является несобственным интегралом 1-го рода.
Так как функция 
не является непрерывной в точке , то для дальнейшего исследования интеграл
разобьем на два интеграла:
. (19)
Если подынтегральную функцию доопределить нулем в точке , то она становится непрерывной на отрезке
. Следовательно, 
- интеграл Римана и он существует.
Что касается интеграла 
, то его мы исследуем на абсолют ную и условную сходимость.
Докажем сначала, используя признак Дирихле, что интеграл сходится. Действительно,
1) функция 
непрерывна на промежутке 
; ее первообразная 
(проверить) - ограничена;
2) функция непрерывно дифференцируема на промежутке
и монотонно убывает 
;
3) 
.
Рассмотрим теперь интеграл 
.
Имеем 
. Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл
расходится. Следовательно, по теореме сравнения интеграл
расходится.
Таким образом, мы имеем: интеграл расходится, а интеграл сходится. Отсюда следует, что интеграл
сходится условно.
Учитывая (19) и то, что интеграл Римана существует, отсюда получаем
Ответ: интеграл сходится условно.
д) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка 
.
. Пусть 
. Имеем 
. Известно, что 
сходится при 
(см. пример 3). Следовательно, по
теореме сравнения интеграл 
сходится, а значит, интеграл сходится абсолютно при .
. Пусть теперь 
. В интеграле сделаем замену переменной 
,
или 
. Это возможно, так как
1) функция 
непрерывна на промежутке 
;
2) функция 
удовлетворяет следующим условиям:
а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;
б) строго возрастает;
в) 
.
Тогда
. (20)
) Докажем сначала, что интеграл расходится при 
. Используем следствие из критерия
Коши:
если существует такое 
, что для любого 
существуют такие 
, что выполняется неравенство
, (21)
то интеграл расходится.
Имеем
, (22)
Если 
, то 
. Имеют место неравенства 
. Отсюда и из (22) получим
. (23)
Теперь в (21) положим 
. Используя (23), имеем
.
Напомним, что 
.
Таким образом, для любого существуют 
такие, что выполняется неравенство (21) при 
.
Итак, при интеграл расходится, а значит, расходится и интеграл
(см. (20)).
) Докажем теперь, что интеграл сходится условно при 
.
Для доказательства сходимости интеграла используем признак Дирихле:
1) функция 
непрерывна на промежутке и ее первообразная 
ограничена;
2) функция 
непрерывно дифференцируема на промежутке
и монотонно убывает; действительно,
отсюда следует, что 
возрастает, следовательно, 
убывает;
3) 
.
Тогда интеграл сходится.
Докажем теперь, что интеграл 
расходится 
. Из (23) имеем
. (24)
Известно, что интеграл 
расходится при (см. пример 1), а интеграл 
сходится при 
. Следовательно,
интеграл 
расходится при
. Отсюда, из (24) и теоремы
сравнения следует, что интеграл 
расходится при .
В результате имеем: интеграл сходится, а интеграл расходится. Значит, интеграл
сходится условно, а вместе с ним сходится условно и исходный интеграл при (доказать).
Ответ: интеграл сходится абсолютно при , сходится условно при , расходится при .
е) 
.
Решение. При 
точка является особой точкой подынтегральной функции. Поэтому
представим интеграл в виде 
.
Рассмотрим интеграл 
. Имеем 
при 
. Отсюда следует, что интеграл расходится при 
(см. пример 3). Тогда независимо от
поведения остальных интегралов отсюда получаем, что интеграл
расходится при .
Пусть теперь 
. Рассмотрим интеграл . Имеем 
. Отсюда следует, что интеграл
расходится при (см. пример
1). Это означает, что интеграл расходится при .
Ответ: интеграл расходится при любом действительном 
.
