Интегрирование по частям.
Для определенного интеграла имеет место формула интегрирования по частям:
, (2.4.1)
где 
и 
- непрерывно дифференцируемые функции на отрезке 
.
Пример 2.4.1. Вычислить 
Решение. Положим 
, 
, тогда 
, 
. Следовательно,
Пример 2.4.2. Вычислить 
.
Решение. Положим 
, 
, тогда 
, 
. Применив к интегралу формулу интегрирования по частям,
получим:
.
Пример 2.4.3. Вычислить 
.
Решение. Положим 
, 
.
Тогда 
, 
, 
.
Применив повторно формулу интегрирования по частям, полагая , 
. Тогда
Перенесем слагаемое, содержащее интеграл, в левую часть уравнения
Отсюда 
.
Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
На основании геометрического смысла определенного интеграла площадь криволинейной
трапеции, ограниченной кривой 
, прямыми 
и 
и отрезком оси OX (рис. 3.1), вычисляется по формуле:
. (3.1.1)
Площадь фигуры, ограниченной кривыми 
и 
для 
и прямыми , (рис. 3.2), вычисляется по формуле:
(3.1.2)
Если кривая задана параметрическими уравнениями 
, 
, так что 
, а 
, то площадь фигуры, ограниченной этой кривой и прямыми
, , 
, вычислить по формуле:
(3.1.3)
Если область ограничена кривой, заданной в полярных координатах уравнением
, и двумя полярными лучами 
и 
(рис. 3.3), то ее площадь выражается интегралом
(3.1.4)
