РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.
Задачи. Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость.
а) 
.
Решение. Интеграл 
является несобственным интегралом 1-го рода. Поэтому
(1)
Для вычисления интеграла 
применяем формулу интегрирования по частям:
. (2)
Подставляя (2) в (1), получим
.
Ответ: 
.
б) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем
.
Отсюда следует
Ответ: интеграл расходится.
в) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка подынтегральной
функции 
. Поэтому
.
Ответ: 
.
г) 
.
Решение. Интеграл является несобственным интегралом 2-го рода, особая точка
- находится внутри отрезка интегрирования. Тогда
.
Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы сходились оба интеграла
и 
.
Рассмотрим интеграл . Имеем
.
Отсюда получаем, что интеграл расходится. Итак, независимо от поведения интеграла интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.
д) 
.
Решение. В интеграле область интегрирования - бесконечный промежуток 
;
кроме того, подынтегральная функция имеет особую точку 
. Поэтому интеграл разбиваем на сумму несобственных интегралов
1-го и 2-го рода:
. (3)
Имеем
. (4)
Таким образом, используя (4), получим
. (5)
. (6)
Подставляя (5) и (6) в (3), получим
.
Ответ: 
.
