Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида 
, где P(x) и Q(x) — многочлены. Рациональная
дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени
многочлена в знаменателе, и неправильной, если степень многочлена в числителе
больше или равна степени многочлена в знаменателе.
Например, дроби 
– неправильные, а дроби 
– правильные.
Если рациональная дробь является неправильной, то, разделив по правилу деления многочленов многочлен P(x) на многочлен Q(x), можно всегда выделить целую часть (т.е. многочлен) и представить такую дробь в виде:
где 
- многочлен и 
– правильная рациональная дробь.
Например, 
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.
Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех типов:
(k>1– натуральное число)
где дискриминант квадратного трехчлена 
,
т.е. 
не имеет действительных корней.
(k>1 — натуральное число, , где A, B, a, p, q — действительные
числа
Таким образом, для интегрирования правильных рациональных дробей достаточно уметь:
интегрировать простейшие дроби;
разлагать правильные рациональные дроби на простейшие.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов.
В знаменателе подынтегральной функции выделим полный квадрат:
Введем обозначение 
и применим замену переменной, полагая 
.
Отсюда 
Следовательно, 
Заменяя t и a их выражениями, получим
Пример 1.4.1. Найти 
Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат
Сделаем подстановку 
Тогда 
Теперь выясним, каким образом любая правильная дробь может быть разложена на простейшие дроби. В этом разложении существенное значение имеет разложение знаменателя дроби Q(x) на произведение линейных и квадратичных множителей с отрицательным дискриминантом. Рассмотрим некоторые случаи.
Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители первой степени 
.
В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей I типа.
где A, B, …, M — неопределенные (неизвестные) коэффициенты.
Например,
Знаменатель разлагается на множители первой степени, среди которых есть повторяющиеся.
Например, 
В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей I и II типов.
где A, B1, B2, …, Bn, C — неопределенные (неизвестные)
коэффициенты. Например, 
Знаменатель разлагается на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательным дискриминантом, возможно, множители первой степени.
Например, 
В этом случае дробь разлагается на сумму простейших дробей 1, 2, 3 типов.
, где A, B, C, D, E — неопределенные коэффициенты.
Для нахождения неопределенных коэффициентов необходимо все простейшие дроби
привести к общему знаменателю и числитель дроби (полученный от сложения простейших
дробей) приравнять к числителю 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в
левой и правой частях полученного тождества, получим систему линейных уравнений
для определения коэффициентов.
