Исследовать сходимость интеграла.
а) 
.
Решение. Интеграл 
- несобственный интеграл 1-го рода, подынтегральная функция
положительна при любом 
. Кроме того, 
при 
.
Используя следствие из теоремы 1 (теорема сравнения) и результат примера
1 
, отсюда получим
Ответ: интеграл сходится.
б) 
.
Решение. Как и в предыдущем случае, интеграл - несобственный интеграл 1-го рода с неотрицательной
подынтегральной функцией. Здесь невозможно непосредственно использовать теорему
сравнения или ее следствие. Исследуем сходимость этого интеграла двумя способами.
1-й способ. Используя следствие из критерия Коши, докажем, что интеграл
расходится. Этот означает,
что существует 
такое, что для любого 
существуют 
такие, что
. (7)
Пусть 
. Тогда
.
Таким образом, для любого существуют 
такие, что выполняется неравенство (7) при 
.
Значит, интеграл расходится.
2-й способ. Имеем
. (8)
По следствию из теоремы сравнения интеграл 
расходится, так как 
при .
Что касается интеграла 
, то для его исследования используем признак Дирихле (теорема
4), так как подынтегральная функция не является знакопостоянной. Имеем:
функция 
непрерывна, а функция 
непрерывно дифференцируема на промежутке
; далее
1) первообразная функции 
равна 
и, следовательно, ограничена на промежутке ;
2) функция 
монотонно убывает на промежутке ;
3) 
.
Следовательно, по признаку Дирихле интеграл сходится. Учитывая, что интеграл
расходится, а интеграл сходится,
из (8) получим, что интеграл расходится.
Ответ: интеграл расходится.
в) 
.
Решение. Имеем 
. Легко доказать, что 
. Тогда
. (9)
Очевидно, что 
. Так как интеграл 
сходится, то из неравенств (9) и теоремы сравнения
следует
Ответ: интеграл сходится.
г) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, 
- особая точка подынтегральной функции.
Имеем
. (10)
Так как интеграл 
сходится (см. пример 3, 
), то из теоремы сравнения и из (10)
следует
Ответ: интеграл сходится.
д) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .
Что касается точки 
, то
.
Таким образом, точка не является особой.
Рассмотрим точку . Имеем
. (11)
Так как интеграл 
сходится, то из (11) и следствия из теоремы сравнения
получим
Ответ: интеграл сходится.
е) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка
- внутренняя точка промежутка интегрирования. Поэтому
.
В интеграле сделаем замену переменной 
. Тогда 
, особая точка 
. Имеем 
при 
. Так как интеграл 
расходится, то по следствию из теоремы сравнения интеграл также расходится. Таким образом, независимо от результата
исследования интеграла отсюда получаем
Ответ: интеграл 
расходится.
ж) 
.
Решение. Так как
при 
, (12)
то при 
подынтегральная функция имеет особенность в точке .
Поэтому интеграл разбиваем на два интеграла:
,
интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, - 1-го рода. Из соотношения (12) и
из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл сходится при 
(см. пример 3), т.е. при 
.
Далее
при .
Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получим, что интеграл
сходится при 
(см. пример
1). Объединяя эти результаты, получим
Ответ: интеграл сходится при 
.
з) 
.
Решение. Если 
, то подынтегральная функция имеет особенность при .
Поэтому
, (13)
интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, интеграл
- 1-го рода.
Имеем 
при . Следовательно, интеграл сходится при 
. Далее
, (14)
при любом 
. Следовательно, непрерывная на промежутке 
функция 
ограничена, т.е.
существует положительная константа 
такая, что
. (15)
Из (14) и (15) получим
. (16)
Так как 
сходится, то по теореме сравнения из (16) следует, что
сходится интеграл 
при любом .
Объединяя результаты, из (13) получим
Ответ: интеграл сходится при .
