и) 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет особые точки при 
и 
. Поэтому
. Имеем 
. Отсюда следует, что интеграл 
сходится.
Далее, 
. Отсюда получим, что интегралы 
также сходятся.
Наконец, 
.
Интегралы 
однотипны. Поэтому рассмотрим 
. Имеем
.
Интеграл 
сходится при 
. Отсюда следует, что сходятся интегралы , а значит, и интеграл 
.
Объединяя результаты, получим
Ответ: интеграл 
сходится.
Задачи 7, 8. Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость.
а) 
.
Решение. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость. Обозначим
.
Особая точка подынтегральной функции . Поэтому интеграл 
разобьем на два интеграла
. (17)
Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода. Имеем
при 
. Отсюда и из следствия из теоремы сравнения получаем,
что интеграл сходится (см. пример 3).
Интеграл 
- несобственный интеграл 1-го рода. Имеем
.
Используя теорему сравнения и результат примера 1, отсюда получаем, что
интеграл сходится.
Таким образом, эти результаты и (17) дают, что интеграл сходится. Значит,
Ответ: интеграл сходится абсолютно.
б) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка .
Сделаем замену переменной 
. Это возможно, так как
1) функция 
непрерывна на промежутке 
;
2) функция 
удовлетворяет следующим условиям:
а) непрерывно дифференцируема на промежутке 
;
б) строго убывает;
в) 
.
Тогда
. (18)
- несобственный интеграл 1-го рода. По признаку Дирихле
интеграл сходится, так как:
1) функция 
непрерывна на промежутке и ее первообразная 
ограничена;
2) 
непрерывно дифференцируема на промежутке
и 
;
3) 
.
Итак, интеграл сходится, а значит, сходится и интеграл .
Докажем теперь, что интеграл 
расходится. Имеем
.
Известно, что интеграл расходится (см. пример 1). По признаку Дирихле интеграл
сходится (доказывается точно так же, как сходимость интеграла
- см. выше). Таким образом, интеграл 
расходится. Так как 
, то
по теореме сравнения интеграл также расходится.
Следовательно, интеграл сходится условно, и значит (см. (18)),
Ответ: интеграл сходится условно.
в) 
.
Решение. Интеграл - несобственный интеграл 1-го рода. Используя признак
Дирихле, докажем, что он сходится. Действительно,
.
Выполняются следующие условия:
1) функция 
непрерывна на промежутке 
; ее первообразная 
ограничена;
2) функция 
непрерывно дифференцируема на промежутке
и монотонно убывает 
;
3) 
.
Точно так же, как в задаче б) доказывается, что интеграл 
расходится.
Таким образом, получаем
Ответ: интеграл сходится условно.
