Вычисление длины дуги плоской кривой .
Если плоская кривая задана уравнением 
на отрезке 
и функция 
непрерывно дифференцируема на отрезке ,
то длина соответствующей дуги этой кривой равна:
(3.2.1)
Если кривая задана параметрическими уравнениями 
, 
, то длина дуги кривой, соответствующей монотонному
изменению параметра t от 
до 
, выражается интегралом:
(3.2.2)
Здесь также предполагается, что и непрерывно дифференцируемы на отрезке 
.
Если кривая задана в полярных координатах уравнением 
, то длина дуги, соответствующей изменению
угла 
от 
до 
, равна:
(3.2.3)
Пример 3.2.1. Вычислить длину дуги кривой 
от 
до 
.
Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем 
. Используя формулу (3.2.1), получим:
.
Пример 3.2.2. Вычислить длину астроиды 
, 
.
Решение. Кривая астроиды состоит из четырех дуг равной длины (см.рис.3.5).
Вычислим длину дуги, расположенной в первой четверти и соответствующей изменению
параметра 
от 0 до 
.
Найдем предварительно 
и 
, 
и составим интеграл длины дуги, заданной параметрически,
используя формулу (3.2.2)
.
Пример 3.2.3. Найти длину дуги кривой 
.
Решение. Так как полярный радиус 
по смыслу должен быть неотрицательный, то пределы изменения
угла определяются неравенством 
. Тогда 
. При изменении от 0 до длина радиуса возрастает от 0 до 
.
При изменении от до 
величина убывает от до 0. Радиус вектор описывает замкнутую кривую, представляющую
окружность радиуса 
с центром в точке
(рис.3.7).
Вычислим длину этой кривой, используя
формулу (3.2.3) 
.
Задачи для самостоятельного решения.
Вычислить длину дуги кривой 
Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрами:
, 
.
Вычислить длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением:
.
Ответы.
1. 
2. 12 3. 8.
