Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций.
Рассмотрим функцию 
, заданную в конечном промежутке 
, но неопределенную в этом промежутке.
Предположим, что функция имеет бесконечный разрыв в точке 
и непрерывна всюду при 
.
Определение. Несобственным интегралом от неограниченной функции на
промежутке от 
до 
называют конечный или бесконечный предел интеграла 
при 
.
Этот предел обозначают так:
. (4.2.1)
Если этот предел существует и конечен, то интеграл называют сходящимся. В противном случае расходится.
Если особая точка 
функции является внутренней точкой отрезка , то по определению полагают:
. (4.2.2)
В этом случае несобственный интеграл называют сходящимся, если существуют и конечны оба предела в правой части равенства.
Пример 4.2.1. Вычислить, если это возможно, 
.
Решение. Подынтегральная функция неограниченна в окрестностях точки 
,
так как 
при 
.
Подынтегральная функция непрерывна всюду на отрезке 
, 
, следовательно, существует определенный интеграл.
Вычислим его:
.
Рассмотрим предел этого интеграла при 
.
.
Следовательно, несобственный интеграл от неограниченной функции сходится
по определению и 
.
Пример 4.2.2. Вычислить, если это возможно, 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке 
,
являющейся внутренней точкой отрезка интегрирования. Поэтому подставим интеграл
в виде суммы двух интегралов:
.
Несобственный интеграл 
имеет особенность на верхнем пределе, а 
- на нижнем пределе. Если и сходятся, то сходится задний предел.
По определению несобственного интеграла особой точкой внутри промежутка интегрирования имеем:
.
Пример Исследовать сходимость интеграла 
в зависимости от параметра 
.
Решение. Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке ,
если 
. При 
подынтегральная функция непрерывна всюду
на отрезке 
, и интеграл является определенным интегралом в собственном
смысле.
Рассмотрим случай 
и вычислим 
.
Если 
, то 
и 
, т.е. конечен, а следовательно, интеграл сходится
по определению. Если 
, 
и 
в этом случае интеграл расходится.
Если 
, то 
, и интеграл 
также расходится.
Следовательно, интеграл сходится при и расходится при 
.
