Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле
Пример 3. Изменить порядок интегрирования
Решение.
Область D расположена в плоскости
и между прямыми 
и 
ее нижняя граница 
верхняя: 
Спроектируем область
на ось 
.
В результате получим отрезок 
Левой границей области является прямая 
правой на участке 
- прямая 
, а на участке 
- дуга окружности 
Поэтому область следует разбить на две части (
и 
), а интеграл — на сумму интегралов:
Вычисление площади плоской области
Площадь 
плоской области на плоскости 
вычисляется по формуле
(4)
Пример 4.
Вычислить площадь плоской области , ограниченной прямой 
и параболой 
Решение.
Область можно проектировать на ось 
и на ось 
; спроектируем ее на ось .
Область симметрична относительно
оси , поэтому достаточно вычислить площадь правой половины
области и результат удвоить. Правая половина области
проектируется на ось в отрезок
и имеет левой границей прямую
а правой — линию 
или 
В результате получим:
, откуда 
Или 
Рис. 6
Вычисление объема тела
Объем вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область
D на плоскости xOy и ограниченного сверху поверхностью 
, выражается двойным интегралом
. (5)
Вычисление объемов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объемов нескольких вертикальных цилиндрических тел (с образующими, параллельными оси Oz).
Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
, 
, 
.
Решение. Данное тело (рис. 7) представляет вертикальный цилиндр, который
сверху ограничен частью плоскости 
, а снизу — частью плоскости xOy, заключенной между параболой
и прямой .
Рис. 7
Согласно формуле (5) объем этого тела
.
При интегрировании в другом порядке
.
