Пример Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой 
и прямой 
.
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений.
.
Как видно из рис. 3.4, заданная фигура ограничена снизу параболой ,
сверху прямой 
и проектируется
на ось ОХ в отрезок 
. Следовательно, искомая площадь вычисляется по формуле
(3.1.2):
.
Пример 3.1.2. вычислить площадь области, ограниченной астроидой:
, 
.
Решение. Граница области, заданная параметрическими уравнениями ,
, представляет замкнутую кривую (рис.
3.5). при движении вдоль этой кривой параметр t изменяется от 0 до 
.
Заданная фигура состоит из четырех равновеликих частей. Составим интеграл
площади той фигуры, которая находится в первой четверти, что соответствует
изменению абсцисс точек области от 0 до 
.
Пределы изменения параметра t определяется из уравнений:
Тогда, по формуле (3.1.3) имеем
, 
.
Пример 3.1.3. Вычислить площадь области, ограниченной кривой: 
.
Решение. Исследуем вопрос, при каких значениях угла 
в интервале от 0 до
существуют точки на границе указанной области. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной. Следовательно,
при значениях , для которых 
, мы получаем все множество граничных точек области.
Решая неравенство , находим интервалы изменения угла :
; 
; 
; 
.
Граница области представляет замкнутую самопересекающуюся кривую, состоящую
из 4 лепестков (рис. 3.6), а сама область складывается из 4 равновеликих фигур.
Составим интеграл площади фигуры, ограниченной лепестком, для которого угол
изменяется в пределах от 
до 
. По формуле (3.1.4) получим
.
Тогда: 
.
Задачи для самостоятельного решения.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой 
и параболой 
.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом: 
, 
.
Найти площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали
Архимеда 
, 
.
Ответы.
1. 
2. 
3. 
