Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема: Если 
- правильная рациональная дробь (m<l), знаменатель
Pl(x) которой (напомним, что любой многочлен с действительными коэффициентами
имеет корни действительные и комплексные, которые могут быть простые и кратные,
число корней равно порядку многочлена) может быть представлен в виде произведения
линейных и квадратичных множителей
Pl(x) = (x - a)a…(x - b)b(x2 + px + q)l…(x2 + rx + s)m ), то эта дробь может быть разложена на сумму простых дробей по следующей схеме:
где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si — некоторые постоянные величины, общее число этих постоянных равно порядку многочлена.
При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.
Пример 26.
Т.к. (
, то
Приводим к общему знаменателю в правой части и из условия равенства дробей ,
приравниваем соответствующие числители 
Выделяем в левой части коэффициенты при соответствующих степенях и из условия равенства многочленов
получаем систему уравнений для нахождения коэффициентов А,В,С,D
Итого: =
Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
Интеграл вида 
.
Здесь R — обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.
Интегралы этого вида вычисляются с помощью универсальной подстановки 
.
Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.
, 
Тогда 
Таким образом: 
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример 27.
Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.
Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример 28.
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.
Функция 
может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно,
может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.
Пример 29.
Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.
Интеграл вида если
функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.
Тогда 
Пример 30.
Интеграл вида
функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка t = tgx.
Тогда 
Пример 31.
