Интегрирование некоторых иррациональных функций
Интегралы вида 
Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена
и линейной подстановки приводятся к табличным интегралам
13 или 14.
Пример 1.5.1. Найти интеграл 
Решение. Выделяя полный квадрат, получим
С помощью замены переменной 
и 
данный интеграл приводится к табличному
Пример 1.5.2. Найти интеграл 
Решение. Имеем
Сделаем замену переменной
Тогда
Интегралы вида 
Такие интегралы в результате выделения полного квадрата из квадратного трехчлена и дальнейшей линейной подстановки приводятся к интегралам вида
Интеграл можно представить в виде суммы двух табличных интегралов.
Пример 1.5.3. Найти интеграл 
Решение. Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении, получим 
Сделаем замену переменной 
Тогда
Рассмотрим 
Сделаем замену 
, тогда 
Следовательно,
Окончательно получим
Интегралы вида 
Интегралы данного вида с помощью подстановки 
приводятся к интегралам, рассмотренным выше.
Пример 1.5.4. Найти интеграл 
Решение. Полагаем 
, тогда
. Следовательно,
Интегралы вида 
, где R — рациональная функция своих аргументов; m, n,
…, r, s — целые числа.
С помощью подстановки 
, где k — наименьшее общее кратное чисел n, …, s, указанный
интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента t.
Пример 1.5.5. Найти интеграл 
Решение. В данном примере x входит в подынтегральную функцию с дробными
показателями 
и 
. Поэтому сделаем подстановку 
, откуда 
.
Следовательно, 
Так как подынтегральная функция — неправильная рациональная дробь, поэтому выделим ее целую часть делением числителя на знаменатель.
Следовательно, 
Возвращаясь к переменной x, имеем 
.
Поэтому
Интегралы вида 
, где R — рациональная функция; m, n, …, r, s — целые числа.
С помощью подстановки 
, где k — наименьшее общее кратное чисел n, …,
s, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции аргумента
t.
Пример 1.5.6. Найти интеграл 
Решение. Сделаем замену 
. Тогда 
и 
.
Следовательно, 
