Замена переменной в определенном интеграле.
При вычислении определенных интегралов в некоторых случаях используется прием замены переменной или подстановки.
Пусть 
-непрерывная функция на отрезке 
. Сделаем замену переменной, положив
, где 
- непрерывно дифференцируемая функция на отрезке 
и 
, 
. Отметим тот факт, что при изменении новой переменной
от 
до 
значения старой переменной пробегают весь отрезок .
При сделанных предложениях имеет место формула:
(2.3.1)
Часто вместо подстановки применяют обратную подстановку 
.
При вычислении определенных интегралов иногда оказываются полезными следующие свойства.
Если - нечетная функция, т.е. 
,
то 
Если - четная функция, т.е. 
,
то 
.
Пример 2.3.1. вычислить интеграл 
.
Решение. Применим подстановку 
, тогда 
, и подынтегральное выражение примет вид:
Пределы интегрирования по t находим из уравнений:
, 
.
Можно принять 
, 
, тогда 
.
А можно взять 
и 
, тогда 
.
В обоих случаях переменная пробегает весь отрезок 
.
Возьмем и , т.е. переменная t изменяется на отрезке 
.
Тогда:
.
Пример 2.3.2. Вычислить интеграл 
, используя правило замены переменной.
Решение. Применим подстановку 
. Найдем новые пределы интегрирования: при 
, а при 
. Следовательно, при изменении 
на отрезке 
новая переменная
изменится на отрезке 
.
Функция 
, непрерывно дифференцируемая
на отрезке и применение подстановки обоснованно. Итак, 
,
и интеграл примет вид
.
Пример 2.3.3. Можно ли в интеграле 
сделать подстановку 
?
Решение. Замена неприменима к данному интегралу, так как при любом допустимом
значении величина 
и выходит за пределы отрезка интегрирования 
.
Пример 2.3.4. Вычислить интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция 
является нечетной функцией . действительно,
Следовательно , 
.
