Метод подстановки (замены переменных).
Метод замены переменной обобщает рассмотренные выше примеры. Существует две формулы замены переменной в неопределенном интеграле:
Первая формула: Если требуется найти интеграл 
, но сложно отыскать первообразную,
то с помощью замены x = j(t) , при
которой переменная x принимается как дифференцируемая функция новой переменной
t, и dx = j¢(t)dt получается новый интеграл более
простой для интегрирования:
Вторая формула: Если под знаком заданного интеграла можно выделить функцию j(x) , ее производную j¢(x) и дифференциал j¢(x)dx , такую, что после выбора в качестве новой переменной интегрирования t = j(x) , новый интеграл приобретает более простой вид
Таким путем можно обосновать формулу
где t=ax+b , x=(t-b)/a dt=adx a, b — const
т.е. мы применили ранее рассмотренный прием интегрирования «введение новой функции под знак дифференциала» с последующей подстановкой новой переменной. .
Пример 6. Найти неопределенный интеграл 
.
Проведем замену переменной интегрирования t = sinx, т.к. dt = cosxdх, тогда:
= 
Пример 7. 
Замена 
- обратная функция на промежутке строгой монотонности.
Получаем:
=
Пример 8:
=
Пример 9.
Пример 10:Найти неопределенный интеграл
. С целью упростить подынтегральное
выражение, избавиться от корня, вспомним основное тригонометрическое тождество
cos2x + sin2x = 1 откуда cos2x = 1-sin2x на основании этого делаем замену
переменной
Используя подстановки sint=x/3, t=arcsin(x/3) и выражая
sin4t=2sin2tcos2t=4sintcost(cos2t-sin2t)=4(x/3)(√ 1-x2/32)(1-x2/9 - x2/9) после подстановки, находим первообразную.
Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода специальной подстановки для различных типов функций.
Разберем пример , в котором метод интегрирования по частям применяется два раза.
Пример 10.
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример 11. 
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Прежде чем рассмотреть подробно методы интегрирования различных классов функций, приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным ,заменой переменной или введением функций под знак дифференциала, а также интегрированием по частям.
Пример 12.
Пример 13.
Пример 14.
В этом же примере преобразуем дифференциал используя его свойства , внесем cosx под знак дифференциала
Пример 15.
Пример 16
Пример 17.
Пример 18
Пример 19
Пример 20.
Пример 21.
