Пример Найти интеграл 
.
Решение. Преобразуя произведение двух сомножителей по приведенным формулам, получим
Следовательно,
.
Интегралы вида 
, где m, n — целые неотрицательные числа
Для нахождения интегралов указанного вида необходимо преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических формул:
Пример 1.6.7. Найти интеграл 
Решение. Применяя формулу
, получим
.
Пример 1.6.8. Найти интеграл 
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
Так как 
, то окончательно получим
Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных.
Вычисление интегралов как пределов интегральных сумм на практике применяется крайне редко. Для нахождения интегралов используется, когда это возможно, формула Ньютона-Лейбница:
, (2.2.1)
где F (x) — какая либо из первообразных функций для f(x).
Применение этой формулы возможно, если подынтегральная функция f(x) имеет первообразную в классе элементарных функций, иными словами, если можно вычислить неопределенный интеграл
(2.2.2)
Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница ,следует также обратить
внимание на условия законности ее применения, а именно: подынтегральная функция
и ее преобразованная 
должны быть непрерывны всюду на отрезке 
.
Пример 2.2.1. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить
.
Решение. Найдем первообразную для функции 
. Пусть 
, тогда
Возьмем F(x) = 
, тогда
.
Пример 2.2.2. Вычислить 
Решение. Найдем какую-либо из первообразных функций 
, где 
,
Так как на отрезке интегрирования [1, 2]. 
,
то 
и 
Пример 2.2.3. Можно ли применить формулу Ньютона — Лейбница к интегралу
Решение. Подынтегральная функция 
имеет разрыв второго рода в точке 
, принадлежащей промежутку интегрирования.
Следовательно, формула Ньютона — Лейбница к данному интегралу неприменима.
Задачи для самостоятельного решения.
Применяя формулу Ньютона — Лейбница, вычислить:
1. 
. 3. 
.
2. 
. 4. 
Ответы.
1. 1-cos1 2. 
3. 2 4. 
