Задача . Установить, собственным или несобственным является интеграл; если он несобственный, то исследовать его сходимость.
а) 
.
Решение. Предполагаемая особая точка 
. Имеем
. Таким образом,
. (25)
Очевидно, что в некоторой окрестности точки функция 
имеет производные любого порядка. Так как 
. То из (25) следует, что либо интеграл 
несобственный и он сходится (см. пример 3), либо точка не является особой точкой функции 
и она интегрируема в смысле Римана,
т.е. интеграл собственный.
Так как 
, то, используя правило Лопиталя, имеем
.
Напомним, что в некоторой окрестности точки функция 
непрерывна, и значит, ограничена. Следовательно,
точка не является особой точкой подынтегральной функции.
Ответ: интеграл собственный.
б) 
.
Решение. - предполагаемая особая точка. Имеем
. (26)
Функцию разложим по формуле Маклорена:
. (27)
Обозначим 
. Тогда 
. Отсюда 
(проверить) и
. (28)
Используя формулу (28), получим
.
Отсюда и из формулы (27) следует
. (29)
Из формул (26) и (29) имеем 
, что дает нам (см. пример 3)
Ответ: интеграл несобственный и он сходится.
в) 
.
Решение. Используя формулу (29), имеем
.
Отсюда и из примера 3 следует
Ответ: интеграл несобственный и он расходится.
г) 
.
Решение. Предполагаемая особая точка .
Обозначим 
, здесь 
. Функция 
определена при 
. Так как 
, то, полагая
,
получим непрерывную функцию (даже имеющую производные любого порядка - проверить).
Разлагая по формуле Маклорена, получим
.
Учитывая, что 
, отсюда получим 
. Тогда 
. Значит,
.
Отсюда следует
Ответ: интеграл 
несобственный и он сходится.
д) 
.
Решение. Очевидно, что интеграл несобственный интеграл 1-го рода. Остается выяснить, сходится
ли он. Имеем 
. Так как
, то отсюда получим 
, что дает нам
Ответ: интеграл несобственный и он сходится.
е) 
.
Решение. Предполагаемая особая точка 
. Сделаем замену переменной 
. Получим
. (30)
Учитывая, что 
, получим
. Отсюда
. (31)
Из (30) и (31) следует
Ответ: интеграл является собственным.
