Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
К таким интегралам относится интеграл вида 
, где Р(х)- многочлен степени выше
второй. Эти интегралы называются эллиптическими.
Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.
Если все — таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.
Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:
- интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон — французский
математик (1781-1840))
- интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель — французский
ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)
- интегральный логарифм
- приводится к интегральному логарифму
- интегральный синус
- интегральный косинус
Пример 1. Вычислить двойной интеграл 
, если областью интегрирования σ является
треугольник, ограниченный прямыми y=0, x=2, y=
(см. рис.3).
Решение. Если при вычислении двойного интеграла пользоваться формулой (3),
то здесь 
(x)=0, 
(так как точка входа лежит на оси 0x, а точка выхода - на прямой 
); a=0, b=2.
Поэтому, применяя формулу (3),
имеем
.
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: 
.
Следовательно, 
.
Применяя для вычисления двойного интеграла 
формулу (4), получим, конечно, тот же результат.
Замечая, что в этом случае 
(так как точка входа лежит на прямой или x=2y, а точка выхода на прямой
x=2), c=0, d=1, получим 
.
Так как
,
то 
Пример 2. Вычислить двойной интеграл 
, если область интегрирования σ ограниченна
линиями x=0, y=x, 
9 (см. рис.4).
Рис. 4
Решение. Применим для вычисления двойного интеграла формулу (3). Здесь 
,
, a=0, b=1. поэтому 
.
Вычислим внутренний интеграл, в котором считаем x постоянным: 
.
Следовательно, 
.
Если при вычислении двойного интеграла 
пользоваться формулой (4), то придется область
интегрирования σ разбить на две части 
и 
, так как линия ОАВ, на которой расположены точки выхода
на отдельных участках, задается различными уравнениями. По свойству аддитивности
.
Применяем формулу (4) к каждому из интегралов, стоящих в правой части последнего
равенства: 
, так как 
, 
, c=0, d=1.
Вычисляем внутренний интеграл, помня, что y-постоянно:
.
Следовательно, 
.
Аналогично находим 
, так как 
, 
, с=1, d=2.
.
Следовательно, 
.
Таким образом, окончательно, 
.
