Пример Вычислить массу неоднородной пластины D, ограниченной линиями 
, если поверхностная плотность в каждой её точке 
.
Решение. Область интегрирования D ограничена прямой 
и параболой 
(или 
– это парабола с вершиной в точке (0,
-1), симметричная относительно оси Oy, ветви направлены вверх). Найдем координаты
точек пересечения прямой и параболы. Для этого решим систему:
Сделаем чертеж области D.
Масса неоднородной пластины D с поверхностной плотностью 
вычисляется по формуле
.
В нашем случае 
.
Чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле надо спроецировать
область D на ось Ох. Получится отрезок [-2; 1]. Этим определяются нижний предел
-2 и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле. Затем на
отрезке [-2; 1] оси Ох выбираем произвольную точку х, через которую проводим
луч, параллельный оси Оу в ее направлении. Нижним пределом будет значение
переменной у из уравнения той линии в которую луч вошел (
),
а верхним — значение переменной y из уравнения той линии из которой луч вышел
(
или 
).
=
.
Считая при вычислении внутреннего интеграла х постоянной, имеем
=
=
Итак, масса неоднородной пластины D, ограниченной линиями , с поверхностной плотностью в каждой
её точке равна 19,8.
Пример2.1. Вычислить массу m дуги окружности 
, лежащей в первой четверти, если плотность в
каждой её точке 
.
Решение. Масса m дуги 
с плотностью в каждой её точке 
вычисляется по формуле
Из уравнения окружности выразим у:
и найдём 
.
Тогда 
=
Дуга окружности , лежащая в первой четверти, находится между точками 
.
Тогда масса
