Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. 
III. 
II. 
IV. 
m, n — натуральные числа (m ³ 2, n ³ 2) и дискриминант b2 — 4ac <0.
Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.
II. 
Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.
Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:
Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.
Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.
Пример 22.
Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx +c выражение (дискриминант)
b2 — 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример 23.
Пример 24. .
Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.
Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.
Тогда интеграл вида 
можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить
в виде 
. Сделаем следующее преобразование:
.
Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.
Обозначим: 
Для исходного интеграла получаем:
Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то
получится табличный интеграл 
.
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.
В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s
приводится к табличному 
, а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше
рекуррентная формула.
Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.
Пример 25:
