Задача. Получить рекуррентную формулу для интеграла 
и вычислить его.
.
Решение. Сделаем замену переменной 
и обозначим 
. Получим
. (32)
Имеем
. (33)
Интеграл 
интегрируем по частям:
. (34)
Подставляя (34) в (33), получим рекуррентную формулу
. (35)
Применяя формулу (35) 
раз, имеем
. (36)
Объединяя (36) и (32), получим
Ответ: 
.
Задача 11. Вычислить 
.
Решение. Имеем
,
где 
. Отсюда
. (37)
Здесь 
. Заметим, что при любом 
интеграл 
сходится и, следовательно, 
конечно. Имеем
. (38)
Так как 
, то 
. Учитывая (38), отсюда имеем
. (39)
Из формул (37) и (39) получаем
Ответ: 
.
Задача 12. Вычислить
а) 
.
Решение. Пусть 
. Очевидно, что 
, Поэтому несобственный интеграл 1-го рода 
расходится. Вычислим 
. Имеем
.
Таким образом, мы получили
Ответ: 
.
б) 
.
Решение. Имеем
.
Таким образом, получаем
Ответ: 
не существует.
в) 
.
Решение. Особая точка 
. Очевидно, что несобственный интеграл 2-го рода 
расходится, так как 
. Поэтому
.
Отсюда
Ответ: 
.
Задача 13. Доказать неравенства.
а) 
.
Доказательство. Обозначим 
. Особая точка . Так как
, то интеграл 
абсолютно сходится.
Пусть
. (40)
Рассмотрим интеграл 
. Обозначим 
. Имеем
. (41)
Докажем, что
. (42)
Действительно, 
. Следовательно, 
убывает на промежутке 
. А так как 
, то отсюда следует (42). (41) и (42)
дают нам, что 
. Следовательно,
. (43)
Используя вторую из формул (43), получим 
. Итак,
. (44)
Оценим интеграл 
. Имеем
, (45)
Так как 
(см. (40), то из неравенств (44) и (45) получаем
. (46)
(Доказать, что неравенства (44) и (45) строгие).
Пусть теперь
. (47)
Используя первую из формул (43), получим
. (48)
Докажем, что
. (49)
Интегрируя по частям, имеем
. (50)
Далее
. (51)
Из (50) и (51) получим 
.
Неравенство (49) доказано. Из (47) - (49) следует
. (52)
Неравенства (46) и (52) дают
.
Замечание. Интегрируя по частям интеграл 
, можно получить более точную оценку интеграла
.
б) 
.
Доказательство. Обозначим 
. Интеграл является сходящимся несобственным интегралом (доказать).
Имеем
. (53)
Очевидно, что 
. Отсюда
. (54)
Далее 
. Тогда
. (55)
Объединяя (53) - (55), получим
. (56)
Замечание. Оценка (56) может быть улучшена.
