Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом
3.3.1 Метод узловых и контурных уравнений
Составляем из заданных электроприёмников цепь с двумя узлами, как это показано на рисунке 3.3. Комплексная схема замещения такой цепи показана на рисунке 3.4.
Сущность метода состоит в составлении системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Расчёт производим в следующем порядке.
По первому закону составляем (n — 1) независимых уравнений, где n — количество узлов в схеме. Выбираем узел А.. По второму закону нам остаётся составить два уравнения, так как число уравнений в системе должно быть равно количеству неизвестных токов, а их три. Направления токов в ветвях выбираются произвольно. Направления обхода контуров принимаем (услов- но) по часовой стрелке. Таким образом, система уравнений в комплексной
форме включает в себя одно уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа и два уравнения, составленные по второму закону:
I1 + I2 — I3 = 0;
I1Z1 — I2Z2 = E1 — E2;
I2Z2 + I3Z3 = E2.
Рис. 3.3 Рис. 3.4
 |
Подставляем заданные комплексы известных величин:
I1 + I2 — I3 = 0 (1);
I1 * (2 — j3) — I2 * (14 — j12) = 100 — 65 (2);
I2 * (14 — j12) + I3 * j18 = 65 (3).
Данную систему легче решить с помощью простых подстановок: из (2) определяем I1, из (3) определяем I3:
I1 + I2 — I3 = 0;
I1 = (35+I2*(14-j12))/(2-j3) = 5,38 + j8,08+I2*(4,92+j1,38) (4);
I3 = (65-I2*(14-j12))/j18 = –j3.61 — I2*(–0,667 — j0,778) (5).
Подставляем (4) и (5) в (1) и получим:
5,38 + j8,08 + I2*(4,92 + j1,38) + I2 + j3,61 + I2* (0,667 — j0,778) = 0;
5,38 + j8,08 + j3,61 = I2 * (–4,92 — j1,38 – 1 + 0,667 + j0,0778);
5,38 +j11,68 = I2 * (–5,253 — j0,602), отсюда
I2 =(5.38+j11.68)/(-5.253-j0.602) = –1,26 — j2,08 = 2,438e-j121,21 A;
I1 = 5,38 + j8,08 + (–1,26 — j2,08) * (4,92 + j1,38) = 2,05 — j3,89 = =4,4
* 
A.
I3 = –3,61 — (–1,26 — j2,08)*(–0,667 — j0,778) = 0,778 — j5,97 =
=6.02 * 
A.
Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:
SE1 = E1*
= 100 * (2,05 + j3,89) = 205 + j389 = 440 * 
*В*A.;
SE2 = E2*
= 65 * (–1,26 + j2,08) = –81,9 + j135 = 158 *
B*A.
Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:
S1 = I12 * Z1 = 4,42 * (2 — j3) = 38,7 — j58,1 B*A;
S2 = I22 * Z2 = 2,432 * (14 — j12) = 82,7 — j70,8 B*A;
S3 = I32 * Z3 = 6,022 * (j18) = j652 B*A.
Уравнение баланса комплексных мощностей!
SЕ1 + SE2 = S1 + S2 + S3;
205 + j389 — 81,9 + j135 = 38,7 — j58,1 + 82,7 — j70,8 + j652;
123,1 + j524 = 121,4 + j523, или
538,3 * 
= 536,9 * 
.
Относительная погрешность в балансе полных мощностей составит:
YS = (538.3-536.9) * 100%/538.3 = 0,28% < 2%.
 |
Рисунок 3.5
Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов MI = 1 А/см и э.д.с. ME = 10 В/см.
Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 3.5.
Представление синусоидальных ЭДС, напряжений и токов комплексными числами
Геометрические операции с векторами можно заменить алгебраическими операциями с комплексными числами, что существенно повышает точность получаемых результатов.
Каждому вектору на комплексной плоскости
соответствует определенное комплексное число, которое может быть записано в :
показательной
nbsp; 
тригонометрической nbsp; 
nbsp; или
алгебраической nbsp;
nbsp; 
- формах.
Например,
ЭДС 
, изображенной на рис. 7 вращающимся вектором, соответствует
комплексное число
.
Фазовый угол 
определяется по проекциям вектора на оси “+1”
и “+j” системы координат, как
.
В соответствии с тригонометрической формой записи мнимая составляющая комплексного числа определяет мгновенное значение синусоидально изменяющейся ЭДС:
|
| (4) |
,
Комплексное число
удобно представить в виде произведения двух комплексных
чисел:
|
| (5) |
,
Параметр 
, соответствующий положению вектора для t=0 (или на
вращающейся со скоростью w комплексной плоскости), называют комплексной амплитудой:
, а параметр 
- комплексом мгновенного значения.
Параметр
является оператором поворота вектора на угол wt относительно
начального положения вектора.
Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 3.4, контурные токи IK1 и IK2 — некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:
IK1 * (Z1 + Z2) — IK2Z2 = E1 — E2;
-IK1 * Z2 + IK2 * (Z2 + Z3) = E2.
Подставляем данные в систему:
IK1 * (2 – j3 + 14 — j12) — IK2 * (14 — j12) = 100 — 65;
-IK1 * (14 — j12) + IK2 * (14 — j12 + j18) = 65.
IK1 * (16 — j15) — IK2 * (14 — j12) = 35;
-IK1 * (14 — j12) + IK2 * (14 + j6) = 65.
Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:
Метод упрощения схем
Для того чтобы показать, как рассчитывать цепь методом упрощения схем, предположим, что в источнике с э.д.с. E1 произошло короткое замыкание между зажимами, то есть E1 = 0. Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунках 3.6 и 3.7.
Определяем эквивалентные сопротивления участков и всей цепи. Сопротивления Z1 и Z3 соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление
Z1
3 = 
= 
= 2,83 — j3,22 Ом
| Выбор типа выпрямителя |