ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.
Решение:1. Расстояние d между точками М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2) определяется по формуле:
d = 
(1)
Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:
АВ =
= 
=15
2. Уравнение прямой, проходящей через точки М1 (х1; y1) и М2 (x2; y2), имеет вид:
= 
(2)
Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ:
= 
, 
= 
, 
= 
,
3у — 24 = − 4х — 16, 4х + 3у — 8 = 0 (АВ).
Для нахождения углового коэффициента kАВ прямой АВ разрешим полученное уравнение
относительно у: у = −
Отсюда kАВ= − 
. Подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем
уравнение прямой АС.
. 
,
х+7у-52=0 (АС).
Отсюда kАС = −
.
3. Угол 
между двумя прямыми,
угловые коэффициенты которых равны k1 и k 2, определяется по формуле:
tg =
. (3)
Угол А, образованный прямыми АВ и АС, найдем по формуле (3), подставив в
нее k1=kАВ= −, k 2= kАС=−.
tg А = 
=
=
=1,
А = arctg 1 = 45°
0,79
рад.
4. Так как высота СD перпендикулярна стороне АВ, то угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку, т.е.
kСD=−
=−
=
.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку М1 (х1; y1) в заданном угловым коэффициентом k направлении, имеет вид:
у — у1=k(х — х1).
Подставив в (4) координаты точки С и kСD=, получим уравнение высоты СD:
у — 6 = (х — 10), 4у — 24
= 3х — 30, 3х — 4у — 6=0 (CD) (5)
Для нахождения длины CD определим координаты точки D, решив систему уравнений (АВ) и (CD):
откуда х = 2, у = 0, то есть D (2;0).
Подставив в формулу (1) координаты точек С и D, находим:
CD =
= 
=10.
5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке Е(а; b) имеет вид:
(х — а)2+(у — b)2 = R2. (6)
Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:
хЕ=
=
=6, уЕ=
=
=3.
Следовательно, Е (6; 3) и R=
=5. Используя формулу (6), получаем уравнение искомой окружности:
(х — 6)2 + (у — 3)2 = 25.
6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А,а третья ограничена прямой АС и содержит точку В.
Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой, АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой АВ координаты точки С:
4·10 + 3·6 — 8 =50 > 0.
Поэтому искомое неравенство имеет вид: 4х + 3у — 8 ≥0.
Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой ВС и содержащую точку А, найдем уравнение прямой ВС, подставив в формулу (2) координаты точек В и С:
2х — у — 14 =0 (ВС).
Подставив в последнее уравнение координаты точки А, имеем: 2·(−4)– 8–14=−30<0. Искомое неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой Ас и содержащую точку В: 5+7·(−4)–52=−75<0. Третье искомое неравенство х+7у–52≤0. Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств
На рис. 1 в декартовой прямоугольной системе координат хОу изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.
