Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А (−4; 8), В(5; −4), С(10; 6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнения окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Задача 2. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки А (3; 0) и до прямой х=12 равно числу =0,5. Полученное уравнение привести к простейшему виду и построить кривую

Векторная алгебра и аналитическая геометрия в пространстве Задача 4. Даны координаты трех точек: А(3; 0; −5), В (6; 2; 1), С (12; −12; 3).

Элементы линейной алгебры Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Введение в анализ Задача 6. Вычислить пределы

Производная и дифференциал Задача 8. Найдите производные функции

Приложения производной Задача 9. Исследовать функцию у= и построить ее график.

Задача 10. Резервуар, имеющий форму открытого сверху прямоугольного параллелепипеда с квадратным дном, нужно вылудить внутри оловом. Каковы должны быть размеры резервуара при его емкости 108 л воды, чтобы затраты на его лужение были наименьшими?

Дифференциальные уравнения Задача12. Решить уравнение у'−у tg x=−y2cos x.

Задача 14. Написать первые три члена ряда , найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Задача 16.Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9.Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех?

Случайные величины и их числовые характеристики Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Элементы линейного программирования Задача 23. Предприятие имеет возможность приобрести не более 20 трехтонных и не более 18 пятитонных автомашин. Отпускная цена трехтонного грузовика 4000 у.е, пятитонного — 5000 у.е. Сколько нужно приобрести автомашин каждой марки, чтобы их суммарная грузоподъемность была максимальной, если для приобретения автомашин выделено 150 тысяч рублей? Задачу решить графическим и аналитическим методами.

Задача 1. Вычислить . Решение. Интеграл можно свести к табличному (1), если сделать замену . Дифференцируя обе части равенства, получим , т.е. . Интеграл определенный, поэтому необходимо изменить пределы интегрирования: если , то ; если , то .

Задача 6. Вычислить .

Задача 11. Вычислить . Решение. При интегрировании иррациональных выражений вида (здесь R — рациональная функция; - целые числа) подстановка , где к — наименьшее общее кратное знаменателей , позволяет избавиться от иррациональности. В данном случае Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6. Применяем подстановку

Задача 15. Вычислить Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простейших дробей

Задача 18. Найти работу вектор-силы на криволинейном пути

Задача 21. Определить, какие ряды сходятся

Задача 23. Найти область сходимости функционального ряда

Задача 26. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Задача 28. Среди перечисленных дифференциальных уравнений найти уравнения в полных дифференциалах

Контрольная работа №1 Аналитическая геометрия. Элементы векторной и линейной алгебры. Комплексные числа.

Пример 2. Составить канонические уравнения: а) эллипса, большая ось которого равна 5, а фокус находится в точке F(3,0); б) гиперболы с мнимой осью в=3 и ; в) параболы, имеющей директрису x=-3.

Контрольная работа №2 Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной переменной.

Пример 2. Исследовать функцию на непрерывность в точках , .

Контрольная работа №3 Функции нескольких переменных. Кратные интегралы. Теория поля.

Пример 2. Найти величину и направление наибольшего изменения функции в точке .

Контрольная работа №4 Дифференциальные уравнения. Ряды. Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение типового варианта контрольной работы. Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:

Пример2. Найти область сходимости ряда . Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:

Пример 4. Найти три первые (отличные от 0) члена разложения в степенной ряд решения задачи Коши .