Решение типового варианта контрольной работы.
Пример 1. Исследовать на сходимость числовые ряды:
Решение.
В данном случае 
Вычислим 
Следовательно, ряд расходится. [an error occurred while processing this directive]
Поскольку
в записи общего члена ряда есть показательная функция 
,
то используем признак Даламбера.
Для рассматриваемого ряда
;
Вычислим
Следовательно, по признаку Даламбера, исходный ряд сходится.
Так как в записи общего члена
ряда есть факториал (
), то используем признак Даламбера.
Для исследуемого ряда
Вычислим
В пределе получили бесконечность, следовательно, исследуемый ряд расходится.
Воспользуемся
радикальным признаком Коши. Здесь 
Вычислим
Полученное значение больше 1, следовательно, ряд расходится.
Исследуем данный ряд с помощью интегрального признака Коши. Составим соответствующий интеграл и вычислим его
Интеграл сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится.
Составим ряд, эквивалентный исходному, оставив в числителе и знаменателе лишь старшие степени n:
Полученный ряд эквивалентен исходному, так как
Таким
образом, исходный ряд и ряд 
сходятся и расходятся одновременно. Т.к. ряд 
сходится, следовательно, исходный ряд также сходится.
Так
как 
, то
.
Ряд
расходится 
,
следовательно, исходный ряд также расходится.
Оценим общий член ряда:
.
Ряд
Ряд 
сходится 
, следовательно, эквивалентный
ряд 
также сходится. Т.к. из сходимости
большего ряда следует сходимость меньшего, то исходный ряд сходится.
